Proszę pomóżcie, bo ja nie umiem i nie rozumiem jak to zrobić. Oczywiście proszę o pomoc w stylu formalnym.
\(\displaystyle{ f(x)}\) jest ciągła na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx = \pi \int_{0}^{ \frac{\pi }{2} } f(\sin x) dx}\)
Udowodnij, że całka
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Udowodnij, że całka
Albo zauważ, że zachodzi ogólniejsza własność:
zatem
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} g(x)\, \dd x = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} g(x) + g(a+b-x)\, \dd x}\)
Wstaw \(\displaystyle{ g(x)=xf(\sin x)}\), granica całkowania jak trzeba i może się uda.- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Udowodnij, że całka
A dobra dzięki a4karo.
Dzięki Janusz, ale to w ogóle nie jest formalne i nie wiem, co to jest. Przedział w złą stronę i w ogóle ja nie rozumiem, co narysowałeś.
Dzięki Janusz, ale to w ogóle nie jest formalne i nie wiem, co to jest. Przedział w złą stronę i w ogóle ja nie rozumiem, co narysowałeś.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Udowodnij, że całka
JanuszoTraczowy sposób polega na zauważeniu takiego prostego faktu: jeżeli `x` przebiega przedział `[a,b]` od `a` do `b`, to `a+b-x` przebiega tenże przedział od `b` do `a`. Stad wniosek, że wykres funkcji `g(x)=f(a+b-x)` jest lustrzanym odbiciem wykresu funkcji `f(x)` względem prostej `x=(a+b)/2`. W szczególności całka z `f` jest taka sama jak całka z `g`.
Zadanie jest szczególnym przypadkiem takiego stwierdzenia: mamy dwie funkcje `h,g:[a,b]\to\RR`. Jeżeli dla pewnego `A` funkcja `h(x)-A` jest nieparzysta względem środka przedziału, a `g` jest parzysta względem środka, to
\(\displaystyle{ \int_a^b h(x)g(x)dx=A\int_a^b g(x)dx}\).
Dowód tego jest banalny: iloczyn funkcji nieparzystej i parzystej (względem środka przedziału) jest nieparzysty, więc
\(\displaystyle{ 0=\int_a^b(h(x)-A)g(x)dx=\int_a^bf(x)g(x)dx - A\int_a^bg(x)dx.}\)
Z parzystości funkcji `g` wynika zaś, że `\int_a^b g(x)dx=2\int_a^{(a+b)/2} g(x)dx=2\int_{(a+b)/2}^bg(x)dx`
No i teraz wystarczy zauważyć, że funkcja `x-\pi/2` jest nieparzysta względem `\pi/2`, a funkcja `f(\sin x)` jest parzysta względem tegoż.
Zadanie jest szczególnym przypadkiem takiego stwierdzenia: mamy dwie funkcje `h,g:[a,b]\to\RR`. Jeżeli dla pewnego `A` funkcja `h(x)-A` jest nieparzysta względem środka przedziału, a `g` jest parzysta względem środka, to
\(\displaystyle{ \int_a^b h(x)g(x)dx=A\int_a^b g(x)dx}\).
Dowód tego jest banalny: iloczyn funkcji nieparzystej i parzystej (względem środka przedziału) jest nieparzysty, więc
\(\displaystyle{ 0=\int_a^b(h(x)-A)g(x)dx=\int_a^bf(x)g(x)dx - A\int_a^bg(x)dx.}\)
Z parzystości funkcji `g` wynika zaś, że `\int_a^b g(x)dx=2\int_a^{(a+b)/2} g(x)dx=2\int_{(a+b)/2}^bg(x)dx`
No i teraz wystarczy zauważyć, że funkcja `x-\pi/2` jest nieparzysta względem `\pi/2`, a funkcja `f(\sin x)` jest parzysta względem tegoż.