Udowodnij, że całka

[Niepokonana]

Proszę pomóżcie, bo ja nie umiem i nie rozumiem jak to zrobić. Oczywiście proszę o pomoc w stylu formalnym.
\(\displaystyle{ f(x)}\) jest ciągła na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx = \pi \int_{0}^{ \frac{\pi }{2} } f(\sin x) dx}\)

[a4karo]

Rozbij lewą całkę na zimę dwóch i w drugiej zamień zmienną `x=\pi-t`

[Janusz Tracz]

Albo zauważ, że zachodzi ogólniejsza własność:

zatem

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} g(x)\, \dd x = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} g(x) + g(a+b-x)\, \dd x}\)

Wstaw \(\displaystyle{ g(x)=xf(\sin x)}\), granica całkowania jak trzeba i może się uda.

[Niepokonana]

A dobra dzięki a4karo.
Dzięki Janusz, ale to w ogóle nie jest formalne i nie wiem, co to jest. Przedział w złą stronę i w ogóle ja nie rozumiem, co narysowałeś.

[a4karo]

JanuszoTraczowy sposób polega na zauważeniu takiego prostego faktu: jeżeli `x` przebiega przedział `[a,b]` od `a` do `b`, to `a+b-x` przebiega tenże przedział od `b` do `a`. Stad wniosek, że wykres funkcji `g(x)=f(a+b-x)` jest lustrzanym odbiciem wykresu funkcji `f(x)` względem prostej `x=(a+b)/2`. W szczególności całka z `f` jest taka sama jak całka z `g`.


Zadanie jest szczególnym przypadkiem takiego stwierdzenia: mamy dwie funkcje `h,g:[a,b]\to\RR`. Jeżeli dla pewnego `A` funkcja `h(x)-A` jest nieparzysta względem środka przedziału, a `g` jest parzysta względem środka, to
\(\displaystyle{ \int_a^b h(x)g(x)dx=A\int_a^b g(x)dx}\).
Dowód tego jest banalny: iloczyn funkcji nieparzystej i parzystej (względem środka przedziału) jest nieparzysty, więc
\(\displaystyle{ 0=\int_a^b(h(x)-A)g(x)dx=\int_a^bf(x)g(x)dx - A\int_a^bg(x)dx.}\)

Z parzystości funkcji `g` wynika zaś, że `\int_a^b g(x)dx=2\int_a^{(a+b)/2} g(x)dx=2\int_{(a+b)/2}^bg(x)dx`

No i teraz wystarczy zauważyć, że funkcja `x-\pi/2` jest nieparzysta względem `\pi/2`, a funkcja `f(\sin x)` jest parzysta względem tegoż.