Zastanawiam się nad takim zagadnieniem:
Mamy pewien przedział domknięty obustronnie, dla którego istnieje taki podział, że \(\displaystyle{ L(P,f)=U(P,f)}\). Chcemy ustalić, czy jest to warunek dostateczny dla całkowalności tej funkcji.
Zaczęłam rozważania od znalezienia takiego twierdzenia, że ograniczona funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) na przedziale \(\displaystyle{ [a, b]}\) jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ ε > 0}\) można znaleźć podział P, dla którego \(\displaystyle{ U(P, f) − L(P, f) < ε}\). Zawęziło to moje poszukiwania ew. kontrprzykładu do funkcji nieograniczonych, bo jeśli f byłaby ograniczona, to też suma dolna i górna byłyby ograniczone, czyli \(\displaystyle{ U(P,f)-L(P,f)=0 < ε}\), koniec.
Wobec tego zaczęłam się zastanawiać, jak to jest z funkcjami nieograniczonymi. Pierwsza na myśl przyszła mi funkcja \(\displaystyle{ 1/x}\) na przedziałe np. [0,1]. I teraz moje pytanie: czy \(\displaystyle{ L(P,f)=U(P,f)}\) może oznaczać \(\displaystyle{ \infty = \infty}\)? Czy jednak muszą to być konkretne liczby?
Inną moją obawą jest to, że jednak w jednym przypadku bierzemy minima, w drugim maksima, więc mimo że oba te szeregi będą rozbieżne, to jednak mogą nie być sobie równe (jeśli dobrze liczę, to będą się różniły tym, że w minimach będzie 1, którego nie będzie w maksimach, bo tam z kolei zawsze będzie o jedną b. dużą liczbę więcej).
W związku z tymi wątpliwościami proszę o pomoc
Z góry dziękuję za każdą podpowiedź!
Dodano po 1 godzinie 19 minutach 32 sekundach:
Na razie nakreśliłam coś takiego, że jeśli \(\displaystyle{ L(P,f)}\) i \(\displaystyle{ U(P,f)}\) muszą być skończone, to mamy:
\(\displaystyle{ \int_{\underline{a}}^{b} f(x) dx = \sup_{P} L(P,f)}\) oraz \(\displaystyle{ \int_{a}^{\overline{b}} f(x) dx = \inf_{P} U(P,f)}\). Wobec tego dla dow. \(\displaystyle{ P'}\) mamy:
\(\displaystyle{ L(P',f) \le \sup_{P} L(P,f) = \int_{\underline{a}}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{\overline{b}} f(x) dx = \inf_{P} U(P,f) \le U(P',f)}\). Dla naszego podziału \(\displaystyle{ P'}\) zachodzi \(\displaystyle{ L(P'f)=U(P'f)}\), wobec tego:
\(\displaystyle{ L(P',f) = \int_{\underline{a}}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{\overline{b}} f(x) dx = U(P',f)}\), czyli z własności nierówności \(\displaystyle{ \int_{\underline{a}}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{\overline{b}} f(x) dx}\), a skoro całka dolna jest równa całce górnej, to z def. \(\displaystyle{ f(x)}\) jest całkowalna na \(\displaystyle{ [a,b]}\).
Czy ten dowód jest poprawny?
