[hamiltonian] potrzebna pomoc w zrozumieniu przeksztalcenia

[eXimius]

czesc,

utknalem w zrozumieniu przeksztalcenia w ksiazce Weinberga. (Teoria pol kwantowych, str 15, rozdz 1.2 Narodziny kwantowej teorii pola)

rozwazany hamiltonian ma postac (wzor 1.2.1):
\(\displaystyle{ H = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} \left\{ \left( \frac{ \partial u}{ \partial t} \right) ^{2} + c ^{2} \left( \frac{ \partial u}{ \partial x} \right) ^{2} \right\} dx}\)

teraz pod funkcje u podstawiają sume harmonicznych:
\(\displaystyle{ u\left( x,t \right) = \sum_{k=1}^{ \infty } q _{k} \left( t \right) \sin\left( \frac{w_{k}x }{c} \right) }\)
gdzie \(\displaystyle{ w _{k} = \frac{k \pi c}{L} }\)

po podstawieniu jakos magicznie im wychodzi:

\(\displaystyle{ H = \frac{L}{4} \sum_{k=1}^{ \infty } \left\{ \left( \frac{dq}{dt} \right) ^{2} + w _{k} ^{2} q _{k} ^{2} \right\} }\)

przyjmuje ze policzyli pochodne czastkowe tej sumy - to wydaje sie proste, po czym zamienili kolejnosc sumowania i calkowania i przecalkowali kwadraty pochodnych czastkowych, ale to sa sumy kwadratow, i tu utknalem...

jakas sugestia co tu sie zadzialo?

pozdr

[janusz47]

1)
Obliczenie pochodnej składowych fourierowskich \(\displaystyle{ u(x,t) }\) względem \(\displaystyle{ t, \ \ u'_{|t}(x,t). }\)

2)
Obliczenie kwadratu pochodnej składowych fourierowskich \(\displaystyle{ u(x,t) }\) względem \(\displaystyle{ t, \ \ u'^{2}_{|t}(x,t). }\)

3)
Obliczenie pochodnej składowych fourierowskich \(\displaystyle{ u(x,t) }\) względem \(\displaystyle{ x, \ \ u'_{|x}(x,t). }\)

4)
Podstawienie \(\displaystyle{ (2),\ \ (3) }\) do całki Hamiltonianu \(\displaystyle{ \mathcal{H}. }\)

5)
Obliczenie całki \(\displaystyle{ \mathcal{H} }\) względem zmiennej \(\displaystyle{ x.}\)

[eXimius]

rozumiem odp ze trzeba liczyc na "pale", ale pozwole sie nie zgodzic. W hamiltonianie obie pochodne czastowe sa w kwadratach, ale to szczegol zatem licze...

\(\displaystyle{
I _{1} = \frac{ \partial u}{ \partial t} = \sum_{k=1}^{ \infty } \left\{ \frac{dq _{k} }{dt} \sin\left( \frac{w _{k} x}{c} \right) \right\}
}\)
\(\displaystyle{
I _{1} ^{2} = \sum_{i=1}^{ \infty } \sum_{j=1}^{ \infty } \left\{ \frac{dq _{i} }{dt} \sin\left( \frac{w _{i}x }{c} \right) \frac{dq _{j} }{dt} \sin\left( \frac{w _{j}x }{c} \right)\right\}
}\)
\(\displaystyle{
I _{2} = \int_{0}^{L} I _{1} ^{2} dx =
\sum_{i=1}^{ \infty } \sum_{j=1}^{ \infty } \left\{ \frac{dq _{i} }{dt} \frac{dq _{j} }{dt} \int_{0}^{L} \sin\left( \frac{w _{i}x }{c} \right) \sin\left( \frac{w _{j}x }{c} \right) dx\right\} =
\sum_{i=1}^{ \infty } \sum_{j=1}^{ \infty } \frac{dq _{i} }{dt} \frac{dq _{j} }{dt} \int_{0}^{L} \left\{ \cos\left( \frac{\left( w _{i} - w _{j} \right) x}{c} \right) - \cos\left( \frac{\left( w _{i} + w _{j} \right) x}{c} \right) \right\} dx = 0
}\)
\(\displaystyle{
I _{3} = \frac{ \partial u}{ \partial x} = \frac{1}{c} \sum_{k=1}^{ \infty } \left\{ q _{k} w _{k} \cos\left( \frac{w _{k} x}{c} \right) \right\}
}\)
\(\displaystyle{
I _{3} ^{2} = \frac{1}{c ^{2} } \sum_{i=1}^{ \infty } \sum_{j=1}^{ \infty } \left\{ q _{i} w _{i} \cos\left( \frac{w _{i}x }{c} \right) q _{j} w _{j} \cos\left( \frac{w _{j}x }{c} \right)\right\}
}\)
\(\displaystyle{
I _{4} = c ^{2} \int_{0}^{L} I _{3} ^{2} dx =
\sum_{i=1}^{ \infty } \sum_{j=1}^{ \infty } \left\{ q _{i} q _{j} w _{i} w _{j} \int_{0}^{L} \cos\left( \frac{w _{i}x }{c} \right) \cos\left( \frac{w _{j}x }{c} \right) dx\right\} =
\sum_{i=1}^{ \infty } \sum_{j=1}^{ \infty } q _{i} q _{j} w _{i} w _{j} \int_{0}^{L} \left\{ \cos\left( \frac{\left( w _{i} - w _{j} \right) x}{c} \right) + \cos\left( \frac{\left( w _{i} + w _{j} \right) x}{c} \right) \right\} dx = 0
}\)
\(\displaystyle{
H = \frac{1}{2} \left( I _{2} + I _{4} \right) = 0
}\)

gdzie jest blad?

[Dasio11]

Nie wczytywałem się zbyt szczegółowo, ale błąd jest przypuszczalnie w równości \(\displaystyle{ I_2 = 0}\) (i analogicznie \(\displaystyle{ I_4 = 0}\)). Większość całek pod podwójną sumą istotnie się zeruje, ale nie wszystkie, a mianowicie te dla \(\displaystyle{ i = j}\), bo wtedy \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{(w_i-w_j)x}{c} \right)}\) jest stale równy jeden.