Suma Riemanna

[mhgihg]

Jak obliczyć tę sumę przez przekształcenie ją w całkę
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n^2-x^2(n-k)^2}}$$
Z moich obliczeń wynika, że jest ona równa \(\displaystyle{ \frac{\arcsin(x)}{x} }\) , ale wyprowadziłem to przez mozolne obliczenia, a ta suma wygląda jak suma Riemanna, więc zakładam, że da się ją obliczyć łatwiej.
Z góry dziękuję za pomoc.

[Tmkk]

No jest własnie tak, jak piszesz. Jak wyłączysz sobie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) przed sumę, to masz ładną granicę postaci

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)}\)

dla funkcji \(\displaystyle{ f(y) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2(1-y)^2}}}\).

I to jest suma Riemanna dla równych podziałów odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\) i zbiega do odpowiedniej całki, czyli \(\displaystyle{ \int_{0}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2(1-y)^2}}\mbox{d}y}\).

[Janusz Tracz]

Przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\) zauważ, że

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n^2-x^2(n-k)^2}}= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1-x^2(1-k/n)^2}} \rightarrow \int_{0}^{1} \frac{ \dd \xi}{ \sqrt{1-x^2(1-\xi^2)} } }\)