Oblicz całki

[arek1357]

Dziękuję za dobre słowo mi też każda całka z trudem przychodzi więc jakoś rozumiem Cię...

[Kali3tte]

No u mnie w mieście to jest minimum 80 zł za korki z matmy na tym poziomie.

Dodano po 5 minutach 33 sekundach:
Jakbys mógł te jeszcze 2 jeżeli to nie problem oczywiście to jesteś normalnie kochany xd

[janusz47]

Za te wszystkie serduszka.

Zadanie 2

a)
\(\displaystyle{ \int \frac{2x +2}{2x^2 +4x -5}dx =\frac{2}{2}\int\frac{x+1}{x^2 +2x-\frac{5}{2}} dx=\int \frac{x+1}{(x^2+2x+1)-1-\frac{5}{2}}dx=\int\frac{x+1}{(x+1)^2-\frac{7}{2}} dx = }\)
\(\displaystyle{ =\int\frac{x+1}{\left(x+1-\sqrt{\frac{7}{2}}\right)\left(x+1+\sqrt{\frac{7}{2}}\right)}dx. }\)

Rozkładamy funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych.

\(\displaystyle{ \frac{x+1}{\left(x+1-\sqrt{\frac{7}{2}}\right)\left(x+1+\sqrt{\frac{7}{2}}\right)} = \frac{a}{x + 1 -\sqrt{\frac{7}{2}}} +\frac{b}{x + 1 +\sqrt{\frac{7}{2}}} }\)
\(\displaystyle{ x+1 = a\left( x+1 +\sqrt{\frac{7}{2}}\right) +b\left(x+1 -\sqrt{\frac{7}{2}}\right) }\)

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach otrzymujemy układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} a +b =1 \\ a\left(1 +\sqrt{\frac{7}{2}}\right) + b\left(1 -\sqrt{\frac{7}{2}}\right) = 1 \end{cases} .}\)

Wyznaczając z równania pierwszego na przykład \(\displaystyle{ b }\) i wstawiając do równania drugiego, otrzymujemy z tych równań \(\displaystyle{ a = b =\frac{1}{2}. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \int\frac{x+1}{\left(x+1-\sqrt{\frac{7}{2}}\right)\left(x+1+\sqrt{\frac{7}{2}}\right)} = \int\frac{\frac{1}{2}}{x + 1 -\sqrt{\frac{7}{2}}}dx +\int\frac{\frac{1}{2}}{x + 1 +\sqrt{\frac{7}{2}}}dx = \frac{1}{2}\ln\left(\left|x+1-\sqrt{\frac{7}{2}}\right|\right) +\frac{1}{2}\ln \left(\left|x+1+\sqrt{\frac{7}{2}}\right|\right) +C= }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} \ln \left|\left(x+1 -\sqrt{\frac{7}{2}}\right) \left(x+1+\sqrt{\frac{7}{2}}\right)\right| + C = \ln\sqrt{\left|(x+1)^2 - \frac{7}{2}\right|}+C = ...= \ln(\sqrt{|2x^2 +4x -5|} + C.}\)


b)
\(\displaystyle{ \int_{e}^{e^{2}} \frac{dx}{x\sqrt{\ln(x)}}dx = | \sqrt{\ln(x)}= y, \ \ \ln(x) = y^2, \ \ \frac{1}{x}dx = 2ydy | \ \ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
x & e & e^2 \\ \hline
y & 1 & \sqrt{2} \\ \hline \end{tabular} = \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{2y}{y}dy = 2\int_{1}^{\sqrt{2}}dy = 2(\sqrt{2} - 1).}\)