Jak obliczyć całkę oznaczoną?

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
alfacentaur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 15 lis 2016, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Jak obliczyć całkę oznaczoną?

Post autor: alfacentaur »

W jaki sposób obliczyć całkę : \(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } ( \sin x )^{2} \dd x }\) przy użyciu twierdzenia Newtona-Leibniza bez pomocy całek nieoznaczonych? Lepiej zrobić to podstawieniem \(\displaystyle{ t=\tan x}\) czy cosinusem kąta podwojonego?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Jak obliczyć całkę oznaczoną?

Post autor: Premislav »

Cosinus kąta podwojonego brzmi obiecująco:
\(\displaystyle{ 0=\int_0^{2\pi}\cos(2x)\mbox{d}x=\int_0^{2\pi}\cos^2x\mbox{d}x-\int_{0}^{2\pi}\sin^2 x\mbox{d}x\\2\pi=\int_{0}^{2\pi}1\mbox{d}x=\int_{0}^{2\pi}\sin^2x\mbox{d}x+\int_{0}^{2\pi}\cos^2x\mbox{d}x}\).
Z tego układu równań możesz wyliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\sin^2 x\mbox{d}x}\).
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Jak obliczyć całkę oznaczoną?

Post autor: Mariusz M »

Można też przez części
Wtedy z tożsamości trygonometrycznych wystarczy jedynka

\(\displaystyle{ \int{\sin^2{\left( x\right) }\mbox{d}x}=\int{\sin{x} \cdot \sin{x} \mbox{d}x} \\
\int{\sin^2{\left( x\right) }\mbox{d}x}=-\cos{x} \cdot \sin{x} - \int{\left( -\cos{x}\right)\cos{x} \mbox{d}x}\\
\int{\sin^2{\left( x\right) }\mbox{d}x}=-\cos{x} \cdot \sin{x} +\int{\cos^2{x}\mbox{d}x}\\
\int{\sin^2{\left( x\right) }\mbox{d}x}=-\cos{x} \cdot \sin{x} +\int{\left( 1-\sin^2{x}\right)\mbox{d}x }\\
\int{\sin^2{\left( x\right) }\mbox{d}x}=-\cos{x} \cdot \sin{x} +\int{\mbox{d}x}-\int{\sin^2{x}\mbox{d}x}\\
2\int{\sin^2{\left( x\right) }\mbox{d}x} = -\cos{x} \cdot \sin{x} +\int{\mbox{d}x}\\
\int{\sin^2{\left( x\right) }\mbox{d}x} = -\frac{1}{2}\cos{x} \cdot \sin{x}+\frac{1}{2}x\\
}\)


Tutaj naszym celem jest policzenie całki oznaczonej więc wystarczy nam jedna funkcja pierwotna

\(\displaystyle{ \int{\sin^2{\left( x\right) }\mbox{d}x} = \left( 0+\pi\right)-\left( 0+0\right) = \pi }\)


Ponieważ jest to całka oznaczona to można by jeszcze trochę inaczej

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}{\sin^2{\left( x\right) }\mbox{d}x}\\
x=\pi-t\\
t=\pi-x\\
\mbox{d}x = -\mbox{d}t\\
\int_{\pi}^{-\pi}{\sin^{2}{\left( \pi-t\right) }\left( -1\right) \mbox{d}t}=\\
\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t\\
}\)


Teraz mamy funkcję parzystą na przedziale symetrycznym względem zera więc



\(\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t\\
=2\int_{0}^{\pi}\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t\\
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t=\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t+\int_{ \frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t\\
\int_{ \frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t\\
u=t-\frac{\pi}{2}\\
\mbox{d}u=\mbox{d}t\\
\int_{ \frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^2{\left( u+\frac{\pi}{2}\right) }\mbox{d}u}\\
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t=\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t+\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }{\cos^2{\left( u\right) }\mbox{d}u}\\
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t=\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t+\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }{\cos^2{\left( t\right) }\mbox{d}t}\\
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t=\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }{\left(\sin^{2}{\left( t\right) }+ \cos^2{\left( t\right) }\right)\mbox{d}t }\\
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t=\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }{\mbox{d}t}\\
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}{\left( t\right) }\mbox{d}t=\frac{\pi}{2}\\
\int_{0}^{2\pi}{\sin^2{\left( x\right) }\mbox{d}x}=2 \cdot \frac{\pi}{2}\\
\int_{0}^{2\pi}{\sin^2{\left( x\right) }\mbox{d}x}=\pi
}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Jak obliczyć całkę oznaczoną?

Post autor: a4karo »

\(\displaystyle{ 2\int_0^{2\pi} \sin^2(x)dx=\int_0^{2\pi} \sin^2(x)dx+\int_0^{2\pi} \cos^2(x)dx=\int_0^{2\pi} dx=2\pi}\)
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Jak obliczyć całkę oznaczoną?

Post autor: kruszewski »

:lol:
Z pozdrowieniami
Wiechu
ODPOWIEDZ