całka nieoznaczona

[arek1357]

Chodzi o to, że trzeba było popatrzeć na sinusy generalnie ich wartości były ładnie symetryczne i od razu zobaczyłem, że się to na pewno poskraca,
od razu jak to zobaczyłem przyszły mi do głowy ułamki proste...
a całka A4karo jest jak widać oporna na moje takie fanaberie jak poprzednio, spróbuję pozgadywać inaczej może ktoś mnie jednak ubiegnie...

Jak widać nie warto przesądzać fakty...

Dodano po 15 minutach 55 sekundach:
ale jak zauważyłem wystarczy skorzystać z tego i zadziała:

\(\displaystyle{ \sin\left[ \left( x-a\right)-\left( x-b\right) \right]=\sin(x-a)\cos(x-b)-\sin(x-b)\cos(x-a) }\)

Dodano po 7 minutach 16 sekundach:
sorki ciut się poprawię:


\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin(x-a)\sin(x-b)} = \frac{A}{\sin(x-a)} + \frac{B}{\sin(x-b)} = \frac{A\sin(x-b)+B\sin(x-a)}{\sin(x-a)\sin(x-b)} }\)

No to mnie też naprowadziło bo w tym wypadku będzie:

\(\displaystyle{ A=-\cos(x-a), B=\cos(x-b)}\)

No tak takie stałe zmienne...

Dodano po 1 minucie 51 sekundach:
Podejrzewam teraz że stałe stałe będą dla nieparzystej liczby sinusów na dole, a "stałe zmienne" dla parzystej ilości sinusów na dole...

Jeżeli ktoś nie wie co mam na myśli może dopytywać...

[janusz47]

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sin(x-a)\sin(x-b) \sin(x-c)} dx = }\)

Podstawienia:

\(\displaystyle{ u = x -a, \ \ du = dx }\)

\(\displaystyle{ = \int \frac{1}{\sin(u)\sin(u-b+a)\sin(u-c+a)} du = }\)

Sinus różnicy dwóch argumentów:

\(\displaystyle{ =\int \frac{1}{ sin(u)( \cos(b-a)\sin(u) -\sin(b-c)\cos(u))(\cos(c-a)\sin(u) - \sin(c-a)\cos(u))}du }\)

Podstawienia Weirstrassa:

\(\displaystyle{ \int \frac{\tg^2\left(\frac{u}{2}\right) +1}{2\tg\left(\frac{u}{2}\right)\left( 2\cos(b-a)\frac{\tg\left(\frac{u}{2}\right)}{\tg^2\left(\frac{u}{2}\right)+1} - \sin(b-a) \frac{1 - \tg^2\left(\frac{u}{2}\right)}{\tg^2\left(\frac{u}{2}\right)+1}\right) \left( 2\cos(c-a)\frac{\tg\left(\frac{u}{2}\right)}{\tg^2\left(\frac{u}{2}\right) +1} -\sin(c-a) \frac{1 -\tg^2(\left(\frac{u}{2}\right)}{\tg^2\left(\frac{u}{2}\right)+1}\right)} du }\)

Podstawienia:

\(\displaystyle{ v = \tg^2\left(\frac{u}{2}\right), \ \ \frac{dv}{du} = \frac{\sec^2\left(\frac{u}{2}\right)}{2} \rightarrow du = \frac{2}{\sec^2\left(\frac{u}{2}\right)}dv = \frac{2}{v^2 +1}dv }\)


\(\displaystyle{ =\int \frac{(v^2 +1)^2}{v(\sin(b-a)v^2 +2\cos(b-a)v -\sin(b-a))(\sin(c-a)v^2 +2\cos(c-a)v -\sin(c-a))}dv = }\)

\(\displaystyle{ =\int \frac{v^4 + 2v^2 + 1}{v(\sin(b-a)v^2 +2\cos(b-a)v -\sin(b-a))(\sin(c-a)v^2 +2\cos(c-a)v -\sin(c-a))}dv }\)


Postaram się jutro kontynuować obliczenie tej całki.

[arek1357]

a więc życzę powodzenia

[janusz47]

Dziękuję.

[a4karo]

Dalej to banał bo:


\(\displaystyle{ A \int_{}^{} \frac{dx}{\sin(x-a)}=A \ln(\tg(x-a))}\)

itd...

To chyba nie tak...

[arek1357]

tak tak tam nie powinien być tg tylko sinus jasne

[Jan Kraszewski]

Sinus?!

JK

[a4karo]

Jasne, że nie sinus

[Jan Kraszewski]

No wiem... Całka z odwrotności sinusa

JK

[arek1357]

żeby przeciąć niedomówienia:

\(\displaystyle{ A \int_{}^{} \frac{dx}{\sin(x-a)}= A\ln\left( \tg \frac{a-x}{2}\right) }\)

Tam była pomyłka...(zwykle w takich sytuacjach o wyniku się zapomina)...

Bo najważniejsze aby gonić króliczka a nie go złapać...

[janusz47]

\(\displaystyle{ =\int \frac{v^4 + 2v^2 + 1}{v(\sin(b-a)v^2 +2\cos(b-a)v -\sin(b-a))(\sin(c-a)v^2 +2\cos(c-a)v -\sin(c-a))}dv }\)

Funkcja podcałkową przedstawiamy w postaci sumy ułamków:

\(\displaystyle{ \frac{v^4 + 2v^2 + 1}{v(\sin(b-a)v^2 +2\cos(b-a)v -\sin(b-a))(\sin(c-a)v^2 +2\cos(c-a)v -\sin(c-a))} = \frac{A}{v} + }\)

\(\displaystyle{ +\frac{B}{\sin(b-a)v^2 +2\cos(b-a)v -\sin(b-a)} + \frac{C}{\sin(c-a)v^2 +2 \cos(c- a)v^2 +2\cos(c - a)v -\sin(c - a)} }\)

\(\displaystyle{ v^4 + 0v^3 + 2v^2 +0v +1 \equiv A(\sin(b-a)v^2 +2\cos(b-a)v -\sin(b-a))(\sin(c-a)v^2+2\cos(c-a)v -\sin(c-a)) + }\)

\(\displaystyle{ + Bv(\sin(c-a)v^2 +2\cos(c-a) - \sin(c-a)) + Cv( \sin(b-a)v^2 + 2\cos(c-a)v -\sin(b-a)) }\)

\(\displaystyle{ A(\sin(b-a)\sin(c-a)v^4 +2\sin(b-a)\cos(c-a)v^3 -\sin(b-a)\sin(c-a)v^2 +2\cos(b-a)\sin(c-a)v^3 +}\)

\(\displaystyle{ + 4\cos(b-a)\cos(c-a)v^2 -2\cos(b-a)\sin(c-a)v- \sin(b-a)\sin(c-a)v^2 -2 \sin(b-a)\cos(c-a)v +\sin(b-a)\sin(c-a)) + }\)

\(\displaystyle{ + B\sin(c-a)v^3 +2B\cos(c-a)v^2 - B\sin(c-a)v +C \sin(b-a)v^3 +2C\cos(b-a)v^2 - C\sin(b-a)v }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} A\sin(b-a)\sin(c-a) = 1 \\ 2A\sin(b-a)\cos(c-a) + 2A\cos(b-a)\sin(c-a) +B\sin(c-a) +C\sin(b-a) = 0 \\
-A \sin(b-a)\sin(c-a) +4A\cos(b-a)\cos(c-a) - A\sin(b-a)\sin(c-a) +2B\cos(c-a)+ 2C \cos(b-a) = 2 \\
-2A\cos(b-a)\sin(c-a) -2A\sin(c-a)\cos(b-a)-B\sin(c-a) - C\sin(b-a) = 0 \\
A\sin(b-a)\sin(c-a) = 1 \end{cases} }\)

Z równania pierwszego lub piątego

\(\displaystyle{ A = \frac{1}{\sin(b-a)\sin(c-a)} }\)

Podstawiając tę wartość do równań \(\displaystyle{ (2), (3), (4), }\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{2}{\sin(b-a)\sin(c-a)}\sin(b-a)\cos(c-a)+\frac{2}{\sin(b-a)\sin(c-a)}\cos(b-a)\sin(c-a)+ B\cos(c-a)+2C\cos(b-a)=0\\
-\frac{1}{\sin(b-a)\sin(c-a)}\sin(b-a)\sin(c-a)+\frac{4}{\sin(b-a)\sin(c-a)}\cos(b-a)\cos(c-a)-\frac{1}{\sin(b-a)\sin(c-a)}\sin(b-a)\sin(c-a)+2B\cos(c-a)+2C\cos(b-a) =2 \\
-\frac{2}{\sin(b-a)\sin(c-a)}\cos(b-a)\sin(c-a)- \frac{2}{\sin(b-a)\sin(c-a)}\sin(c-a)\cos(b-a) -B\sin(c-a)-C\sin(b-a) = 0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{2\cos(c-a)}{\sin(c-a)}+\frac{2\cos(b-a)}{\sin(b-a)} + B\cos(c-a)+2C\cos(b-a) = 0 \\
\frac{4\cos(b-a)\cos(c-a)}{\sin(b-a)\sin(c-a)} +2B\sin(c-a)+2C\cos(b-a)= 4 \\
-\frac{4\cos(b-a)}{\sin(b-a)} - B\sin(c-a) -C\sin(b-a) = 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ B = - \frac{2\sin^2(b-a) +2\cos^2(b-a)}{\cos(b-a)\sin(b-a)\sin(c-a)- \sin^2(b-a)\cos(c-a)}, }\)

\(\displaystyle{ C = \frac{2\sin^2(c-a)+2\cos^2(c-a)}{cos(b-a)\sin^2(c-a)-\sin(b-a)\cos(c-a)\sin(c-a)}. }\)

Z liniowości i jednorodności całki nieoznaczonej

\(\displaystyle{ = \frac{2\sin^2(c-a)+2\cos^2(c-a)}{\cos(b-a)\sin^2(c-a)-\sin(b-a)\cos(c-a)\sin(c-a)}\int \frac{1}{\sin(c-a)v^2 +2\cos(c-a)v -\sin(c-a)}dv +}\)

\(\displaystyle{ -\frac{2\sin^2(b-a)+2\cos^2(b-a)}{\cos(b-a)\sin(b-a)\sin(c-a)-\sin^2(b-a)\cos(c-a)}\int \frac{1}{\sin(b-a)v^2+2\cos(b-a)v -\sin(c-a)}dv + \frac{1}{\sin(b-a)\sin(c-a)}\int \frac{1}{v}dv }\)

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sin(c-a)v^2 +2\cos(c-a)v -\sin(c-a)}dv }\)

Przekształcamy funkcję podcałkową do całki z arkusa tangensa:

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{\left(\sqrt{\sin(c-a)}v +\frac{cos(c-a)}{\sqrt{\sin(c-a)}}\right)^2 -\sin(c-a)-\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}}dv =}\)

Podstawienie

\(\displaystyle{ w=\frac{\sin(c-a)v +\cos(c-a)}{\sqrt{-\sin(c-a)-\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}}\sqrt{\sin(c-a)}}\rightarrow \frac{dw}{dv}= \frac{\sqrt{\sin(c-a)}}{\sqrt{-\sin(c-a)-\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}}} \rightarrow dv = \sqrt{-\sin(c-a) -\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}}{\sqrt{\sin(c-a)}} dw }\)

\(\displaystyle{ = \int \frac{\sqrt{-\sin(c-a)-\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}}}{\sqrt{\sin(c-a)}\left( \left(-\sin(c-a)-\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}\right)w^2-\sin(c-a)-\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}\right)} dv = \frac{1}{\sqrt{-\sin(c-a)-\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}}\sqrt{\sin(c-a)}}\int\frac{1}{w^2+1}dw = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{\sqrt{-\sin(c-a)-\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}}\sqrt{\sin(c-a)}}\arctg(w) + C_{1} }\)

\(\displaystyle{ w = \frac{\sin(c-a)\tg\left(\frac{x-a}{2}\right)+\cos(c-a)}{\sqrt{-\sin(c-a)-\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}}\sqrt{\sin(c-a)}} }\)

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sin(c-a)v^2 +2\cos(c-a)v -\sin(c-a)}dv = \frac{1}{\sqrt{-\sin(c-a)-\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}}\sqrt{\sin(c-a)}}\arctg\left(\frac{\sin(c-a)\tg\left(\frac{x-a}{2}\right)+\cos(c-a)}{\sqrt{-\sin(c-a)-\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}}\sqrt{\sin(c-a)}}\right) +C_{1}}\)

Analogicznie obliczamy drugą całkę

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sin(b-a)v^2 +2\cos(b-a)v -\sin(b-a)}dv = \frac{1}{\sqrt{-\sin(b-a)-\frac{\cos^2(b-a)}{\sin(b-a)}}\sqrt{\sin(b-a)}}\arctg\left(\frac{\sin(b-a)\tg\left(\frac{x-a}{2}\right)+\cos(b-a)}{\sqrt{-\sin(b-a)-\frac{\cos^2(b-a)}{\sin(b-a)}}\sqrt{\sin(b-a)}}\right) + C_{2}}\)

Trzecia całka

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin(b-a)\sin(c-a)}\int \frac{1}{v}dv = \frac{1}{\sin(b-a)\sin(c-a)}\ln(v) + C_{3} = \frac{1}{\sin(b-a)\sin(c-a)}\ln \left(\tg\left(\frac{x-a}{2}\right)\right) +C_{3} }\)

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}dx = \frac{2\sin^2(c-a)+2\cos^2(c-a)}{cos(b-a)\sin^2(c-a)-\sin(b-a)\cos(c-a)\sin(c-a)} \frac{1}{\sqrt{-\sin(c-a)-\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}}\sqrt{\sin(c-a)}}\arctg\left(\frac{\sin(c-a)\tg\left(\frac{x-a}{2}\right)+\cos(c-a)}{\sqrt{-\sin(c-a)-\frac{\cos^2(c-a)}{\sin(c-a)}}\sqrt{\sin(c-a)}}\right) - }\)

\(\displaystyle{ - \frac{2\sin^2(b-a) +2\cos^2(b-a)}{\cos(b-a)\sin(b-a)\sin(c-a)- \sin^2(b-a)\cos(c-a)}\frac{1}{\sqrt{-\sin(b-a)-\frac{\cos^2(b-a)}{\sin(b-a)}}\sqrt{\sin(b-a)}}\arctg\left(\frac{\sin(b-a)\tg\left(\frac{x-a}{2}\right)+\cos(b-a)}{\sqrt{-\sin(b-a)-\frac{\cos^2(b-a)}{\sin(b-a)}}\sqrt{\sin(b-a)}}\right)
+\frac{1}{\sin(b-a)\sin(c-a)}\ln \left(\tg\left(\frac{x-a}{2}\right)\right) + C, \ \ C = C_{1}+ C_{2} + C_{3}. }\)

Dodano po 33 minutach 41 sekundach:
Obliczenie pierwszej i drugiej całki należało sprowadzić do całki z logarytmu naturalnego, a nie z arkusa tangensa, ponieważ wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta = 4 > 0 }\)

Poprawię rozwiązanie.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sin(x-a)\sin(x-b) \sin(x-c)} dx = }\)

Podstawienia:

\(\displaystyle{ u = x -a, \ \ du = dx }\)

\(\displaystyle{ = \int \frac{1}{\sin(u)\sin(u-b+a)\sin(u-c+a)} du = }\)

Sinus różnicy dwóch argumentów:

\(\displaystyle{ =\int \frac{1}{ sin(u)( \cos(b-a)\sin(u) -\sin(b-c)\cos(u))(\cos(c-a)\sin(u) - \sin(c-a)\cos(u))}du }\)

Podstawienia Weirstrassa:

\(\displaystyle{ \int \frac{\tg^2\left(\frac{u}{2}\right) +1}{2\tg\left(\frac{u}{2}\right)\left( 2\cos(b-a)\frac{\tg\left(\frac{u}{2}\right)}{\tg^2\left(\frac{u}{2}\right)+1} - \sin(b-a) \frac{1 - \tg^2\left(\frac{u}{2}\right)}{\tg^2\left(\frac{u}{2}\right)+1}\right) \left( 2\cos(c-a)\frac{\tg\left(\frac{u}{2}\right)}{\tg^2\left(\frac{u}{2}\right) +1} -\sin(c-a) \frac{1 -\tg^2(\left(\frac{u}{2}\right)}{\tg^2\left(\frac{u}{2}\right)+1}\right)} du }\)

Podstawienia:

\(\displaystyle{ v = \tg^2\left(\frac{u}{2}\right), \ \ \frac{dv}{du} = \frac{\sec^2\left(\frac{u}{2}\right)}{2} \rightarrow du = \frac{2}{\sec^2\left(\frac{u}{2}\right)}dv = \frac{2}{v^2 +1}dv }\)


\(\displaystyle{ =\int \frac{(v^2 +1)^2}{v(\sin(b-a)v^2 +2\cos(b-a)v -\sin(b-a))(\sin(c-a)v^2 +2\cos(c-a)v -\sin(c-a))}dv = }\)

I tutaj zapomniałeś o `v^2+1` z mianownika `du=...`

[janusz47]

Widzę, dzięki.

Dodano po 1 dniu 4 godzinach 12 minutach 1 sekundzie:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}dx = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\int \frac{\sin[(a-x)-(b-x)][\sin[(a-x)-(c-x)]\sin[(b-x)-(c-x)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}dx = }\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\int \frac{[\sin(a-x)\cos(b-x)-\sin(b-x)\cos(a-x)][\sin(a-x)\cos(c-x)-\sin(c-x)\cos(a-x)][\sin(b-x)\cos(c-x)-\sin(c-x)\cos(b-x)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)} dx = }\)

Z nieparzystości funkcji sinus i parzystości funkcji kosinus:

\(\displaystyle{ =-\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\int \frac{[\sin(x-a)\cos(x-b)+\sin(x-b)\cos(x-a)][\sin(x-a)\cos(x-c)+\sin(x-c)\cos(x-a)][\sin(x-b)\cos(x-c)+\sin(x-c)\cos(x-b)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)} dx = }\)

\(\displaystyle{ =-\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)} \int \frac{[\sin^2(x-a)\cos(x-b)\cos(x-c) + \sin(x-a)\sin(x-c)\cos(x-a)\cos(x-b)+\sin(x-a)\sin(x-b)\cos(x-a)\cos(x-c)+\sin(x-b)\sin(x-c)\cos^2(x-a)][\sin(x-b)\cos(x-c) +\sin(x-c)\cos(x-b)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)} dx = }\)

\(\displaystyle{ = -\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\int \frac{\sin^2(x-a)\sin(x-b)\cos(x-b)\cos^2(x-c)+ \sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)\cos(x-a)\cos(x-b)\cos(x-c)+\sin(x-a)\sin^2(x-b)\cos(x-a)\cos^2(x-c)+\sin^2(x-b)\sin(x-c)\cos^2(x-c)\cos(x-b)+ \sin^2(x-a)\sin(x-c)\cos^2(x-b)\cos(x-c)+\sin(x-a)\sin^2(x-c)\cos(x-a)\cos^2(x-b)+\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)\cos(x-a)\cos(x-b)\cos(x-c)+\sin(x-b)\sin^2(x-c)\cos^2(x-a)\cos(x-b)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}dx = }\)

Z jednorodności i liniowości całki nieoznaczonej:

\(\displaystyle{ =-\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\left[\int\frac{\sin(x-a)\cos(x-b)\cos^2(x-c)}{\sin(x-c)}dx+ 2\int\cos(x-a)\cos(x-b)\cos(x-c)dx+\int\frac{\sin(x-b)\cos(x-a)\cos^2(x-c)}{\sin(x-c)}dx+\int\frac{\sin(x-a)\cos^2(x-b)\cos(x-c)}{\sin(x-b)}dx+\int\frac{\sin(x-c)\cos(x-a)\cos^2(x-b)}{\sin(x-b)}dx+ \int\frac{\sin(x-c)\cos^2(x-c)\cos(x-b)}{\sin(x-a)}dx\right]}\)

Otrzymaliśmy do obliczenia sumę siedmiu trygonometrycznych całek. Niektóre z nich mają podobne funkcje podcałkowe -różnią się argumentami.
Postaram się obliczyć, jeśli potrafię każdą z nich.

[arek1357]

Na moje oko jest tam sześć całek...

[janusz47]

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}dx = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\int \frac{\sin[(a-x)-(b-x)][\sin[(a-x)-(c-x)]\sin[(b-x)-(c-x)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}dx = }\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\int \frac{[\sin(a-x)\cos(b-x)-\sin(b-x)\cos(a-x)][\sin(a-x)\cos(c-x)-\sin(c-x)\cos(a-x)][\sin(b-x)\cos(c-x)-\sin(c-x)\cos(b-x)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)} dx = }\)

Z nieparzystości funkcji sinus i parzystości funkcji kosinus:

\(\displaystyle{ =-\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\int \frac{[\sin(x-a)\cos(x-b)+\sin(x-b)\cos(x-a)][\sin(x-a)\cos(x-c)+\sin(x-c)\cos(x-a)][\sin(x-b)\cos(x-c)+\sin(x-c)\cos(x-b)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)} dx = }\)

\(\displaystyle{ =-\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)} \int \frac{[\sin^2(x-a)\cos(x-b)\cos(x-c) + \sin(x-a)\sin(x-c)\cos(x-a)\cos(x-b)+\sin(x-a)\sin(x-b)\cos(x-a)\cos(x-c)+\sin(x-b)\sin(x-c)\cos^2(x-a)][\sin(x-b)\cos(x-c) +\sin(x-c)\cos(x-b)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)} dx = }\)

\(\displaystyle{ = -\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\int \frac{\sin^2(x-a)\sin(x-b)\cos(x-b)\cos^2(x-c)+ \sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)\cos(x-a)\cos(x-b)\cos(x-c)+\sin(x-a)\sin^2(x-b)\cos(x-a)\cos^2(x-c)+\sin^2(x-b)\sin(x-c)\cos^2(x-c)\cos(x-b)+ \sin^2(x-a)\sin(x-c)\cos^2(x-b)\cos(x-c)+\sin(x-a)\sin^2(x-c)\cos(x-a)\cos^2(x-b)+\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)\cos(x-a)\cos(x-b)\cos(x-c)+\sin(x-b)\sin^2(x-c)\cos^2(x-a)\cos(x-b)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}dx = }\)

Z jednorodności i liniowości całki nieoznaczonej:

\(\displaystyle{ =-\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\left[\int\frac{\sin(x-a)\cos(x-b)\cos^2(x-c)}{\sin(x-c)}dx+ 2\int\cos(x-a)\cos(x-b)\cos(x-c)dx+\int\frac{\sin(x-b)\cos(x-a)\cos^2(x-c)}{\sin(x-c)}dx+\int\frac{\sin(x-b)\cos^2(x-a)\cos(x-b)}{\sin(x-a)}dx + \int\frac{\sin(x-a)\cos^2(x-b)\cos(x-c)}{\sin(x-b)}dx+\int\frac{\sin(x-c)\cos(x-a)\cos^2(x-b)}{\sin(x-b)}dx+ \int\frac{\sin(x-c)\cos^2(x-c)\cos(x-b)}{\sin(x-a)}dx\right]}\)

Otrzymaliśmy do obliczenia sumę siedmiu trygonometrycznych całek. Niektóre z nich mają podobne funkcje podcałkowe -różnią się argumentami.
Postaram się obliczyć, jeśli potrafię każdą z nich.


Tak zjadłem jedną z nich - teraz jest siedem. Dzięki

Dodano po 4 godzinach 46 minutach 26 sekundach:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}dx = \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(a-b)} \left[ I_{1}+I_{2}+I_{3}+I_{4}+I_{5}+I_{6}+ I_{7}\right] }\)

\(\displaystyle{ I_{1} = \int \frac{\sin(x-a)\cos(x-b)\cos^2(x-c)}{\sin(x-c)}dx :}\)

\(\displaystyle{ x-c=u, \ \ dx = du, \ \ x = u+c }\)

\(\displaystyle{ = \int\frac{cos^2(u)\sin(u+c-a)\cos(u+c-b)}{\sin(u)}du = }\)

\(\displaystyle{ = \int\frac{\cos^2(u)[\cos(c-a)\sin(u)+\sin(c-a)\cos(u)][\cos(c-b)\cos(u)-\sin(c-b)\sin(u)]}{\sin(u)}du = }\)

\(\displaystyle{ = \int-\cos(c-a)\sin(c-b)\cos^2(u)\sin(u) du + \int\frac{\sin(c-a)\cos(c-b)\cos^4(u)}{\sin(u)}du -\int \sin(c-a)\sin(c-b)\cos^3(u)du +\int \frac{\sin(c-a)\sin(c-b)\cos^4(u)}{\sin(u)}du = }\)

\(\displaystyle{ = -\cos(c-a)\sin(c-b)\int \cos^2(u)\sin(u)du +\sin(c-a)\cos(c-b)\int\frac{\cos^4(u)}{sin(u)}du + [\cos(c-a)\cos(c-b)-\sin(c-a)\sin(c-b)]\int\cos^3(u)du }\)

\(\displaystyle{ \int \cos^2(u)\sin(u) du= }\)

\(\displaystyle{ \cos(u)=v, \ \ -\sin(u)du = dv }\)

\(\displaystyle{ = -\int v^2 dv = -\frac{1}{3}v^3 +C_{1} = -\frac{1}{3}\cos^3(u) + C_{1} }\)

\(\displaystyle{ \int \frac{\cos^4(u)}{\sin(u)}du =}\)

\(\displaystyle{ \sin^2(u) = 1- \cos^2(u) }\)

\(\displaystyle{ =\int \frac{\cos^4(u)}{1-\cos^2(u)}\sin(u)du = }\)

\(\displaystyle{ v = \cos(u), \ \ \frac{dv}{du}= -\sin(u) \rightarrow du = -\frac{1}{\sin(u)} dv }\)

\(\displaystyle{ = -\int \frac{v^4}{1- v^2}dv = \int \frac{v^4}{v^2 -1} dv = \int \left(\frac{1}{v^2-1} + v^2 +1\right)dv = \int \frac{1}{v^2-1}dv +\int v^2dv + \int 1dv = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\int \frac{1}{v-1}dv - \frac{1}{2}\int \frac{1}{v+1}+ \int v^2 dv + \int dv = \frac{1}{2}\ln(v-1) -\frac{1}{2}ln(v+1)+ \frac{1}{3}v^3 + v + C_{2}}\)

\(\displaystyle{ \ln\left(\sqrt{\frac{\cos(u)-1}{\cos(u)+1}}\right) + \frac{1}{3}\cos^3(u) +\cos(u) + C_{2} }\)


\(\displaystyle{ \int \cos^3 (u) du = }\)

\(\displaystyle{ = \int \cos(u)(1-\sin^2(u))du }\)

\(\displaystyle{ s = \sin(u),\ \ \frac{ds}{du}=\cos(u) \rightarrow du = \frac{1}{\cos(u)}ds }\)

\(\displaystyle{ = \int (1-s^2)ds = s - \frac{1}{3}s^3 + C_{3} = \sin(u) - \frac{1}{3}\sin^3(u) + C_{3} }\)


\(\displaystyle{ \int\frac{cos^2(u)\sin(u+c-a)\cos(u+c-b)}{\sin(u)}du = }\)

\(\displaystyle{ \sin(c-b)\cos(c-a)\cos^3(u)+ \sin(c-a)\cos(c-b) \left(\ln\left( \sqrt{\frac{\cos(u)-1}{\cos(u)+1}}\right) + \frac{1}{3}\cos^3(u) +\cos(u)\right) - \frac{1}{3}[\cos(c-a)\cos(c-b)-\sin(c-a)\sin(c-b)]\sin^3(u)du + C }\)

\(\displaystyle{ I_{1} = \int \frac{\sin(x-a)\cos(x-b)\cos^2(x-c)}{\sin(x-c)}dx = }\)

\(\displaystyle{ =\sin(c-b)\cos(c-a)\cos^3(x-c)+ \sin(c-a)\cos(c-b) \ln \left(\sqrt{\frac{\cos(x-c)-1}{\cos(x-c))+1}}\right)+\frac{1}{3}\cos^3(x-c) +\cos(x-c)) - \frac{1}{3}[\cos(c-a)\cos(c-b)-\sin(c-a)\sin(c-b)]\sin^3(x-c)+ C = }\)
\(\displaystyle{ =\sin(c-b)\cos(c-a)\cos^3(x-c)+ \sin(c-a)\cos(c-b) \ln\left(\sqrt{\frac{\cos(x-c)-1}{\cos(x-c))+1}}\right)+\frac{1}{3}\cos^3(x-c) +\cos(x+c)) - \frac{1}{3}[\cos(2c-a-b)]\sin^3(x-c)+ C }\)

Dodano po 3 godzinach 27 minutach 53 sekundach:
\(\displaystyle{ I_{2} = 2\int(\cos(x-a)\cos(x-b)\cos(x-c) dx = }\)

\(\displaystyle{ \cos(x)\cos(y) = \frac{1}{2}[\cos(y+x)+\cos(y-x)] }\)

\(\displaystyle{ =2 \int \left[ \frac{\cos(2x-a-b) + \cos(a-b)}{2} \right]\cos(x-c)dx =\int [\cos(2x-a-b)\cos(x-c)+\cos(a-b)\cos(x-c)]dx = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\int \cos(3x -a-b-c)dx + \frac{1}{2}\int \cos(-x+a+b-c)dx+\cos(a-b)\int\cos(x-c) dx = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{6}\sin(3x-a-b-c)+ \frac{1}{2}\sin(x-a-b+c)+\cos(a-b)\sin(x-c)+ C_{2}}\)

Dodano po 15 godzinach 20 minutach 34 sekundach:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}dx = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\int \frac{\sin[(a-x)-(b-x)][\sin[(a-x)-(c-x)]\sin[(b-x)-(c-x)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}dx = }\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\int \frac{[\sin(a-x)\cos(b-x)-\sin(b-x)\cos(a-x)][\sin(a-x)\cos(c-x)-\sin(c-x)\cos(a-x)][\sin(b-x)\cos(c-x)-\sin(c-x)\cos(b-x)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)} dx = }\)

Z nieparzystości funkcji sinus i parzystości funkcji kosinus:

\(\displaystyle{ =-\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\int \frac{[\sin(x-a)\cos(x-b)+\sin(x-b)\cos(x-a)][\sin(x-a)\cos(x-c)+\sin(x-c)\cos(x-a)][\sin(x-b)\cos(x-c)+\sin(x-c)\cos(x-b)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)} dx = }\)

\(\displaystyle{ =-\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)} \int \frac{[\sin^2(x-a)\cos(x-b)\cos(x-c) + \sin(x-a)\sin(x-c)\cos(x-a)\cos(x-b)+\sin(x-a)\sin(x-b)\cos(x-a)\cos(x-c)+\sin(x-b)\sin(x-c)\cos^2(x-a)][\sin(x-b)\cos(x-c) +\sin(x-c)\cos(x-b)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)} dx = }\)

\(\displaystyle{ = -\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\int \frac{\sin^2(x-a)\sin(x-b)\cos(x-b)\cos^2(x-c)+ \sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)\cos(x-a)\cos(x-b)\cos(x-c)+\sin(x-a)\sin^2(x-b)\cos(x-a)\cos^2(x-c)+\sin^2(x-b)\sin(x-c)\cos^2(x-c)\cos(x-b)+ \sin^2(x-a)\sin(x-c)\cos^2(x-b)\cos(x-c)+\sin(x-a)\sin^2(x-c)\cos(x-a)\cos^2(x-b)+\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)\cos(x-a)\cos(x-b)\cos(x-c)+\sin(x-b)\sin^2(x-c)\cos^2(x-a)\cos(x-b)]}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}dx = }\)

Z jednorodności i liniowości całki nieoznaczonej:

\(\displaystyle{ =-\frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)}\left[\int\frac{\sin(x-a)\cos(x-b)\cos^2(x-c)}{\sin(x-c)}dx+ 2\int\cos(x-a)\cos(x-b)\cos(x-c)dx+\int\frac{\sin(x-b)\cos(x-a)\cos^2(x-c)}{\sin(x-c)}dx+\int\frac{\sin(x-a)\cos^2(x-b)\cos(x-c)}{\sin(x-b)}dx+\int\frac{\sin(x-c)\cos(x-a)\cos^2(x-b)}{\sin(x-b)}dx+ \int\frac{\sin(x-c)\cos^2(x-c)\cos(x-b)}{\sin(x-a)}dx\right]}\)

Otrzymaliśmy do obliczenia sumę siedmiu trygonometrycznych całek. Niektóre z nich mają podobne funkcje podcałkowe -różnią się argumentami.
Postaram się obliczyć, jeśli potrafię każdą z nich.