całka nieoznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
ann_u
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 4 razy

całka nieoznaczona

Post autor: ann_u »

Oblicz \(\displaystyle{ \int {\dfrac{1}{\sin\left(x-a\right)\sin\left(x-b\right)\sin\left(x-c\right)}}\,dx}\).
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: arek1357 »

Wystarczyć rozłożyć na sumę:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}= \frac{A}{\sin(x-a)} + \frac{B}{\sin(x-b)} + \frac{C}{\sin(x-c)} }\)

Obliczyć A, B, C i po sprawie...(łatwo obliczyć)

\(\displaystyle{ A= \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)} }\)

\(\displaystyle{ B= \frac{1}{\sin(b-a)\sin(b-c)} }\)

\(\displaystyle{ C= \frac{1}{\sin(c-a)\sin(c-b)} }\)

Dalej to banał bo:


\(\displaystyle{ A \int_{}^{} \frac{dx}{\sin(x-a)}=A \ln(\tg(x-a))}\)

itd...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: a4karo »

A możesz pokazać jak to rozłożyć? Z góry dziękuję
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: arek1357 »

jak przemnożysz pierwszą sumę otrzymasz:

\(\displaystyle{ 1=A\sin(x-b)\sin(x-c)+B\sin(x-a)\sin(x-c)+C\sin(x-a)\sin(x-b)}\)

Skoro jest to prawdziwe dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) podstaw za \(\displaystyle{ x=a}\)

otrzymasz:

\(\displaystyle{ A\sin(a-b)\sin(a-c)=1}\)

z tego:

\(\displaystyle{ A= \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)} }\)

Potem tak samo obliczasz: B i C podstawiając za \(\displaystyle{ x :=b \wedge c}\)

....
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: a4karo »

A sprawdziłeś, że wynik będzie poprawny? Czy tylko tak Ci się skojarzyło z rozkładem na ułamki proste?

Nie uważasz, że taka tożsamość
`1=A\sin(x-b)\sin(x-c)+B\sin(x-a)\sin(x-c)+C\sin(x-a)\sin(x-b)`
rzadko kiedy może zachodzić? Choćby dlatego, że prawa strona ma na ogół okres `2\pi`?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: arek1357 »

Tak skojarzyło mi się z rozkładem na ułamki proste reszty nie sprawdzałem, wystarczy zróżniczkować wynik i się sprawdzi niestety zabrakło mi na to czasu bo karczowałem drzewa jak wypocznę i będę miał chęć to i może se sprawdzę...

Dodano po 1 minucie 24 sekundach:
Pomysł jest jaki jest a jak na razie najlepszy bo jedyny...
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: Jan Kraszewski »

arek1357 pisze: 28 paź 2021, o 23:44Pomysł jest jaki jest a jak na razie najlepszy bo jedyny...
Jest to także pomysł najgorszy.

JK
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: arek1357 »

Pokaż lepszy!

Dodano po 1 minucie 35 sekundach:
Zróżniczkuj stronę prawą a jak otrzymasz albo i nie stronę lewą to wtedy daj głos...
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: Jan Kraszewski »

Jak nie mam dobrego pomysłu, to nie piszę. Ty zaś często nie poddajesz swoich pomysłów żadnej weryfikacji, przez co niekiedy piszesz głupoty.

JK
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: Bran »

*Biorę popcorn*
Panowie, proszę. Uznajmy, że to kwestia późnej godziny i złego dnia. Powściągliwość jest cnotą (gdzie ma rację JK), ale jak widać po jego poście, każdy ma swoje granice powściągliwości. Jak ktoś napisze pierdołę, to pewnie znajdzie się ktoś uprzejmy, kto z wielką radością ją wskaże.

Co do całki - jest straszna, polecam przeprosić prowadzącego (cokolwiek mu zrobiliście).
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: arek1357 »

Niestety ale policzyłem te sumy sinusów sprowadziłem do wspólnego mianownika zredukowałem i wychodzi strona lewa czyli dokładnie to co jest pod całką, dla niedowiarków wrzucę obliczenia jak będę miał czas i może pokaże niedowiarkom w każdym bądź razie sprowadzenie do wspólnego mianownika i spałowanie sinusów daje wynik poprawny czyli całka jest obliczona dobrze nieważnie jakie motywy mną kierowały...

Dodano po 2 minutach 27 sekundach:
Jak ktoś nie wierzy niech se spałuje te sinusy i zobaczy...

Dodano po 2 minutach 55 sekundach:
Całka jest wyliczona dobrze nawet jak sposób się komuś nie podoba...
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: Jan Kraszewski »

arek1357 pisze: 29 paź 2021, o 09:35 Niestety ale policzyłem te sumy sinusów sprowadziłem do wspólnego mianownika zredukowałem i wychodzi strona lewa czyli dokładnie to co jest pod całką, dla niedowiarków wrzucę obliczenia jak będę miał czas i może pokaże niedowiarkom w każdym bądź razie sprowadzenie do wspólnego mianownika i spałowanie sinusów daje wynik poprawny czyli całka jest obliczona dobrze
Czekamy na Twoje wyliczenia (nie zaś na obietnicę wyliczeń) - póki co jest tylko Twoje głębokie przekonanie o poprawności swoich rachunków i uwaga a4karo wskazująca, że jednak nie są poprawne.

I nie martw się - jestem przekonany, że jeżeli okaże się, iż rozwiązałeś zadanie poprawnie, to wszyscy publicznie wyrażą Ci swoje uznanie. Ale nie wcześniej.

JK
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: arek1357 »

Dobrze więc:

\(\displaystyle{ A= \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)} }\)

\(\displaystyle{ B= \frac{1}{\sin(b-a)\sin(b-c)} }\)

\(\displaystyle{ C= \frac{1}{\sin(c-a)\sin(c-b)} }\)

Podstawiamy do sumy i mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(x-a)} + \frac{1}{\sin(b-a)\sin(b-c)\sin(x-b)} + \frac{1}{\sin(c-a)\sin(c-b)\sin(x-c)} =}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(x-a)} - \frac{1}{\sin(a-b)\sin(b-c)\sin(x-b)} + \frac{1}{\sin(a-c)\sin(b-c)\sin(x-c)} =}\)

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

\(\displaystyle{ \frac{\sin(b-c)\sin(x-b)\sin(x-c)-\sin(a-c)\sin(x-a)\sin(x-c)+\sin(a-b)\sin(x-a)\sin(x-b)}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}}\)

Teraz góra:

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \frac{\sin(2b-2c)-\sin(2b-2x)+\sin(2c-2x)-\sin(2a-2c)+\sin(2a-2x)-\sin(2c-2x)+\sin(2a-2b)-\sin(2a-2x)+\sin(2b-2x)-\sin(2c-2x)}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}=}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \frac{\sin(2b-2c)-\sin(2a-2c)+\sin(2a-2b)}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}=}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \frac{4\sin(a-b) \cdot \sin(a-c) \cdot \sin(b-c)}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}=}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}}\)

I co ,

Fakt używałem do tego celu wolframa ale już się z tego wyspowiadałem...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: a4karo »

Nie do wiary, ale to działa. A możesz teraz tą metodą policzyć całkę \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sin(x-a)\sin(x-b)}}\)?

Dodano po 45 minutach 27 sekundach:
daje przedziwną, acz piękną tożsamość:

\(\displaystyle{ \sin(a+b)\sin(a-b)+\sin(b+c)\sin(b-c)+\sin(c+a)\sin(c-a)=0}\), która pozostaje prawdziwa gdy usuniemy sinusy :idea:
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: całka nieoznaczona

Post autor: Jan Kraszewski »

Zgodnie z zapowiedzią wyrażam uznanie.

JK
ODPOWIEDZ