Niech \(\displaystyle{ f\in C^2(\mathbb{R}), f(0)=0, f(a)=b}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)\geq 0, f''(x)\geq0}\). Wykaż ze
\(\displaystyle{ \displaystyle\int^a_0\frac{f(x)}{\sqrt{1+(f'(x))^2}}\,dx\leq b\sqrt{a^2+b^2}.}\)
nierówność całkowa
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Re: nierówność całkowa
Mamy dla \(\displaystyle{ x \in (0,a)}\):
\(\displaystyle{ [ f'(x)]^2 \geq 0}\)
\(\displaystyle{ 1+[ f'(x)]^2 \geq 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1+[ f'(x)]^2} \geq \frac{1}{\sqrt{1+[ f'(x)]^2}}}\)
A skoro tak, to całka z funkcji z lewej strony jest też większa od całki funkcji z prawej strony:
\(\displaystyle{ \int_0^a \sqrt{1+[ f'(x)]^2} dx \geq \int_0^a \frac{1}{\sqrt{1+[ f'(x)]^2}} dx}\)
Całka z lewej strony to długość krzywej \(\displaystyle{ f(x)}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,a)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f''(x) \geq 0}\) to f jest wypukła więc jest \(\displaystyle{ \int_0^a \sqrt{1+[ f'(x)]^2} dx \leq \sqrt{a^2+b^2}}\).
Łącząc powyższe dwie nierówności pokazaliśmy do tej pory, że \(\displaystyle{ \int_0^a \frac{1}{\sqrt{1+[ f'(x)]^2}} dx \leq \sqrt{a^2+b^2}}\).
Z warunków zadania wynika, że funkcja jest rosnąca (bo nie może być wypukła i malejąca przy f(0)=0 i f(a)=b) więc na przedziale \(\displaystyle{ (0,a)}\) mamy, że \(\displaystyle{ f(x) \leq b}\), zatem:
\(\displaystyle{ \int_0^a \frac{f(x)}{\sqrt{1+[ f'(x)]^2}} \leq \int_0^a \frac{b}{\sqrt{1+[ f'(x)]^2}} dx \leq b\sqrt{a^2+b^2}}\).
\(\displaystyle{ [ f'(x)]^2 \geq 0}\)
\(\displaystyle{ 1+[ f'(x)]^2 \geq 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1+[ f'(x)]^2} \geq \frac{1}{\sqrt{1+[ f'(x)]^2}}}\)
A skoro tak, to całka z funkcji z lewej strony jest też większa od całki funkcji z prawej strony:
\(\displaystyle{ \int_0^a \sqrt{1+[ f'(x)]^2} dx \geq \int_0^a \frac{1}{\sqrt{1+[ f'(x)]^2}} dx}\)
Całka z lewej strony to długość krzywej \(\displaystyle{ f(x)}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,a)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f''(x) \geq 0}\) to f jest wypukła więc jest \(\displaystyle{ \int_0^a \sqrt{1+[ f'(x)]^2} dx \leq \sqrt{a^2+b^2}}\).
Łącząc powyższe dwie nierówności pokazaliśmy do tej pory, że \(\displaystyle{ \int_0^a \frac{1}{\sqrt{1+[ f'(x)]^2}} dx \leq \sqrt{a^2+b^2}}\).
Z warunków zadania wynika, że funkcja jest rosnąca (bo nie może być wypukła i malejąca przy f(0)=0 i f(a)=b) więc na przedziale \(\displaystyle{ (0,a)}\) mamy, że \(\displaystyle{ f(x) \leq b}\), zatem:
\(\displaystyle{ \int_0^a \frac{f(x)}{\sqrt{1+[ f'(x)]^2}} \leq \int_0^a \frac{b}{\sqrt{1+[ f'(x)]^2}} dx \leq b\sqrt{a^2+b^2}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: nierówność całkowa
Łatwo dostać lepsze oszacowanie:
Z wypukłości wynika, że \(\displaystyle{ f(x)\leq \frac{b}{a}x}\), więc
\(\displaystyle{ \int_0^a \frac{f(x)}{\sqrt{1+(f'(x)^2}}dx\leq \int_0^a f(x)dx\leq \frac{b}{a}\int_0^a xdx=\frac{ab}{2}<\frac{b\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\)
Z wypukłości wynika, że \(\displaystyle{ f(x)\leq \frac{b}{a}x}\), więc
\(\displaystyle{ \int_0^a \frac{f(x)}{\sqrt{1+(f'(x)^2}}dx\leq \int_0^a f(x)dx\leq \frac{b}{a}\int_0^a xdx=\frac{ab}{2}<\frac{b\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
Re: nierówność całkowa
Super! A ten problem?
Niech \(\displaystyle{ f\in C^1([0,1]), f(0)=0, f(1)=1}\) oraz \(\displaystyle{ |f'(x)|\le 2}\) dla \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\). Wykaż ze
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x)dx>\frac{ 1 }{ 8 } }\).
Niech \(\displaystyle{ f\in C^1([0,1]), f(0)=0, f(1)=1}\) oraz \(\displaystyle{ |f'(x)|\le 2}\) dla \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\). Wykaż ze
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x)dx>\frac{ 1 }{ 8 } }\).
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: nierówność całkowa
Nierówność jest raczej w drugą stronę.tometomek91 pisze: ↑23 lip 2021, o 21:23Całka z lewej strony to długość krzywej \(\displaystyle{ f(x)}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,a)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f''(x) \geq 0}\) to f jest wypukła więc jest \(\displaystyle{ \int_0^a \sqrt{1+[ f'(x)]^2} dx \leq \sqrt{a^2+b^2}}\).
Wystarczy zauważyć, że z twierdzenia Lagrange'a
\(\displaystyle{ f(x) \ge -2x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left[ 0, \frac{1}{4} \right]}\)
\(\displaystyle{ f(x) \ge 2x-1}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left[ \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \right]}\)
a ponadto \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{4} \right) > -\frac{1}{2}}\), bo w przeciwnym razie w powyższych nierównościach musiałaby zajść równość i funkcja nie byłaby różniczkowalna.