Pole powierzchni ograniczone lemiskatą

[41421356]

Obliczyć pole powierzchni ograniczone krzywą:

\(\displaystyle{ \left(x^2+y^2\right)^2=2a^2xy \ \ , \ \ a>0}\)

Po obrocie tej krzywej o kąt \(\displaystyle{ \alpha=-\frac{\pi}{4}}\) uzyskałem równanie lemiskaty Bernoulliego:

\(\displaystyle{ \left(x^2+y^2\right)^2=a^2\left(x^2-y^2\right) \ \ , \ \ a>0}\)

Pole tak ograniczoną lemiskatą już standardowo obliczam i wychodzi \(\displaystyle{ P=a^2}\). Pytanie czy nie da się tego policzyć szybciej, nie wykonując obrotu?

[Dasio11]

Próbowałeś we współrzędnych biegunowych?

[41421356]

Próbowałeś we współrzędnych biegunowych?

Nie bardzo wiem jak będzie ta całka wyglądać we współrzędnych biegunowych dla tak obróconej lemiskaty...

[Dasio11]

Zacznij tak jak zwykle - od wyznaczenia wzoru krzywej w tych współrzędnych przez podstawienie \(\displaystyle{ x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi}\).

[41421356]

Faktycznie musiałem zafiksować się na tym obrocie i można rzec, że ubiłem muchę przy pomocy armaty. Jeśli ta lemiskata jest obrócona o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) to w równaniu biegunowym wyjdzie \(\displaystyle{ \sin 2\varphi}\) zamiast \(\displaystyle{ \cos 2\varphi}\) oraz oczywiście kąt zmieni się o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). Wyniki w obu przypadkach są takie same. Dziękuję za pomoc.