Pole powierzchni ograniczone lemiskatą

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 432
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 357 razy
Pomógł: 4 razy

Pole powierzchni ograniczone lemiskatą

Post autor: 41421356 » 5 cze 2021, o 19:48

Obliczyć pole powierzchni ograniczone krzywą:

\(\displaystyle{ \left(x^2+y^2\right)^2=2a^2xy \ \ , \ \ a>0}\)

Po obrocie tej krzywej o kąt \(\displaystyle{ \alpha=-\frac{\pi}{4}}\) uzyskałem równanie lemiskaty Bernoulliego:

\(\displaystyle{ \left(x^2+y^2\right)^2=a^2\left(x^2-y^2\right) \ \ , \ \ a>0}\)

Pole tak ograniczoną lemiskatą już standardowo obliczam i wychodzi \(\displaystyle{ P=a^2}\). Pytanie czy nie da się tego policzyć szybciej, nie wykonując obrotu?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9560
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2130 razy

Re: Pole powierzchni ograniczone lemiskatą

Post autor: Dasio11 » 6 cze 2021, o 10:09

Próbowałeś we współrzędnych biegunowych?

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 432
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 357 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Pole powierzchni ograniczone lemiskatą

Post autor: 41421356 » 6 cze 2021, o 12:05

Dasio11 pisze:
6 cze 2021, o 10:09
Próbowałeś we współrzędnych biegunowych?
Nie bardzo wiem jak będzie ta całka wyglądać we współrzędnych biegunowych dla tak obróconej lemiskaty...

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9560
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2130 razy

Re: Pole powierzchni ograniczone lemiskatą

Post autor: Dasio11 » 6 cze 2021, o 14:32

Zacznij tak jak zwykle - od wyznaczenia wzoru krzywej w tych współrzędnych przez podstawienie \(\displaystyle{ x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi}\).

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 432
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 357 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Pole powierzchni ograniczone lemiskatą

Post autor: 41421356 » 7 cze 2021, o 17:47

Faktycznie musiałem zafiksować się na tym obrocie i można rzec, że ubiłem muchę przy pomocy armaty. Jeśli ta lemiskata jest obrócona o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) to w równaniu biegunowym wyjdzie \(\displaystyle{ \sin 2\varphi}\) zamiast \(\displaystyle{ \cos 2\varphi}\) oraz oczywiście kąt zmieni się o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). Wyniki w obu przypadkach są takie same. Dziękuję za pomoc.

ODPOWIEDZ