Funkcja całkowalna w sensie Newtona, ale nie Riemanna

[niunix98]

Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x) : (0,1] \to \mathbb{R}}\) zdefiniowaną w następujący sposób:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} n^2 - n^6|x - \frac{1}{n}| \ \mbox{gdy } x \in \left[\frac{1}{n} - \frac{1}{n^4}, \frac{1}{n} + \frac{1}{n^4}\right] \\ 0 \ \mbox{wp.p.} \end{cases}}\)
Udowodnić, że istnieje skończona granica \(\displaystyle{ \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^1 f(x) dx}\), ale nie jest ona równa \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right)}\).

Fakt, że ta funkcja jest dobrze zdefiniowana i ciągła na dowolnym przedziale \(\displaystyle{ [\varepsilon, 1]}\) już udowodniłem.

[Dasio11]

Próbowałeś znaleźć wzór jawny na \(\displaystyle{ \int_{\varepsilon}^1 f(x) \, \dd x}\) ? Dla ułatwienia możesz założyć, że \(\displaystyle{ \varepsilon}\) nie leży w żadnym z wyróżnionych przedziałów, bo wtedy ta całka będzie zwyczajną sumą pól skończenie wielu trójkątów o łatwo wyliczalnych parametrach.

Z drugiej strony \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{n} \right) = n^2}\), więc

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) = \frac{1}{n} \left( n^2 + \ldots \right) \ge n}\)

i z twierdzenia o dwóch ciągach takie sumy są rozbieżne do nieskończoności.

[a4karo]

Wartość funkcji w każdym punkcie opisuje `n=1`

[niunix98]

Faktycznie, jeżeli \(\displaystyle{ \varepsilon}\) nie leży w żadnym z tych przedziałów to mamy
\(\displaystyle{ \int_{\varepsilon}^1 f(x) dx = \sum_{n \leq \varepsilon^{-1}} \int_{x \in I_n} f(x) dx}\)
Co możemy z góry przeszacować przez
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \int_{x \in I_n} f(x) dx}\)
Ale z symetrii \(\displaystyle{ f(x)}\) względem \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ |x| < \frac{1}{n^4}}\):
\(\displaystyle{ \int_{x \in I_n} f(x) dx = 2 \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^4}} f(x) dx = 2\left(n^2\left[ x \right]_{\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^4}} - \frac{n^6}{2} \left[ (x - \frac{1}{n})^2 \right]_{\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^4}} \right) = \frac{1}{n^2}}\)
A wiemy, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} < \infty}\), więc w połączeniu z obserwacją Dasia, dostajemy sprzeczność. Dobrze rozumuję?

Dodano po 1 minucie 24 sekundach:
To, że \(\displaystyle{ \int_{x \in I_n} f(x)dx = \frac{1}{n^2}}\) też wynika stąd, że wykres tworzy trójkąt o podstawie \(\displaystyle{ \frac{2}{n^4}}\) i wysokości \(\displaystyle{ n^2}\).

[Dasio11]

A wiemy, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} < \infty}\), więc w połączeniu z obserwacją Dasia, dostajemy sprzeczność. Dobrze rozumuję?

Dobrze, ale to nie sprzeczność, tylko wniosek że rozpatrywane sposoby liczenia całki dają różne wyniki.

[niunix98]

Tak, o to mi chodziło. Dziękuję.