Objętość bryły obrotowej

[matfanka]

Mam problem z takim zadaniem:

Dana jest funkcja y:
\(\displaystyle{ y= \sqrt{p ^{3}-x ^{3} } }\), gdzie p - stała
Obliczyć objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wokół osi OY.

Granice całkowania będą od -p do p, ale chciałabym policzyć to od 0 do p i pomnożyć przez 2. Problem jest z całką. Po podstawieniu do wzoru mam:

\(\displaystyle{ V=2 \pi \cdot \int_{0}^{p} x \cdot \sqrt{p ^{3}-x ^{3} }dx}\)

Próbowałam przez podstawienie \(\displaystyle{ t=p ^{3}-x ^{3}}\) oraz \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\), włączanie pod pierwiastek, ale skończyły mi się pomysły. Będę wdzięczna za pomoc.

[a4karo]

A czemu sądzisz że ta bryła jest symetryczna s względem zera@

[matfanka]

Nie bardzo rozumiem. A jak może być niesymetryczna, jeśli powstaje przez obrót wokół osi?

Dodano po 35 minutach 54 sekundach:
Wymyśliłam jeszcze coś takiego:
\(\displaystyle{
x= \sqrt[3] {(y ^{2})-p ^{3}}
}\)
czyli:
\(\displaystyle{
V= \pi \int_{a}^{b} \left(\sqrt[3] {(y ^{2})-p ^{3}} \right) ^{2}
}\)
Ale tu nadal utykam na tej całce. Czy to jest dobra droga? Jakiego podstawienia tu użyć? I jakie będą wówczas granice (skoro ta funkcja nie jest ograniczona w y)?

[a4karo]

Nie o obrót chodzi tylko o symetrię względem osi `Oy`. Dlaczego uważasz, że dziedziną będzie przedział `[-p,p]`?

[matfanka]

Przecięcie z osią OX będzie w x=p. Jeśli obracam wokół osi OY, to dlatego przypuszczam, że drugie przecięcie powinno być w x=-p.
Nie wiem, jak mam inaczej to wyznaczyć.

[a4karo]

Zadanie, niestety, jest sformułowane bardzo niechlujnie. Dziedziną funkcji jest \(\displaystyle{ (-\infty,p]}\) i nie za bardzo wiadomo co obracać. Dla `p>0` można obracać kawałek leżący nad odcinkiem `[0,p]` (i to jest to, co robisz, ale dla `p<0` ten kawałek nie istnieje)

A całka, którą masz policzyć nie jest elementarna

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+%28x%5E2-1%29%5E%282%2F3%29dx