Matematyka.pl

Mam do wyliczenia taką całkę :

\(\displaystyle{ \int {\left( 4\sqrt{x} + \frac{1}{x\sqrt{x}}\right)e ^{-x} } \dd x }\)

Podstawiam \(\displaystyle{ t=\sqrt{x}}\) i otrzymuję

\(\displaystyle{ 2 \int {\left( 4t+\frac{1}{t^3}\right)e^{-t^2} } \cdot t \dd t = 2\int {\left( \frac{4t^4+1}{t^2}\right)e^{-t^2} } \dd t}\)

... i nie wiem, jak mam dalej kontynuować. Próbowałem coś liczyć przez części ale nic z tego nie wyszło. Całka jest na pewno elementarna, wpisałem w Wolframa i zwrócił "normalny" wynik. Proszę o jakąś poradę.

Weź sobie pierwszy kawałek tej całki, czyli

\(\displaystyle{ \int 4t^2e^{-t^2} }\)

i scałkuj dwa razy przez części (w taki sposób rozdzielając kawałek wielomianowy, aby pojawiło się wyrażenie typu \(\displaystyle{ te^{-t^2}}\), które będziesz całkował). Powinien pojawić się wynik tej całki minus kawałek, którego nie użyłeś, czyli \(\displaystyle{ \int \frac{1}{t^2}e^{-t^2}}\).

Tmkk pisze: ↑7 maja 2021, o 11:57 Weź sobie pierwszy kawałek tej całki, czyli

\(\displaystyle{ \int 4t^2e^{-t^2} }\)

i scałkuj dwa razy przez części (w taki sposób rozdzielając kawałek wielomianowy, aby pojawiło się wyrażenie typu \(\displaystyle{ te^{-t^2}}\), które będziesz całkował). Powinien pojawić się wynik tej całki minus kawałek, którego nie użyłeś, czyli \(\displaystyle{ \int \frac{1}{t^2}e^{-t^2}}\).

Robię w ten sposób i wychodzi

\(\displaystyle{ \int 4t^2e^{-t^2} \dd t = -2 \int t \cdot \left( -2te^{-t^2}\right) \dd t = \left| u=t, \dd v = -2te^{-t^2}\right| =-2\left( te^{-t^2}- \int e^{-t^2} \dd t\right) = \left| u = \frac{1}{t}, \dd v = te^{-t^2} \dd t \right|=\\ = -2 \left( te^{-t^2} - \left( - \frac{1}{2t} e^{-t^2} -\frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2} e^{-t^2} \dd t\right) \right) }\)

i po dalszych uproszczeniach rzeczywiście pojawia się ta druga całka, tylko z minusem, co pozwala odjąć je od siebie. Bardzo dziękuję za pomoc.