Środek masy stożka ściętego

[Adam99]

Mam znaleźć środek masy odwróconego stożka ściętego \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} \le 4z ^{2} }\), gdzie \(\displaystyle{ 1 < z < 2}\).
Nie mam pojęcia jak się za to zabrać, gdyby ktoś mógł wytłumaczyć krok po kroku jak rozwiązać to zadanie, byłbym wdzięczny.

[kruszewski]

Po sporządzeniu szkicu i prostych zabiegach matematycznych zauważamy, że stożek ma podstawy górną, większą, kołową o promieniu \(\displaystyle{ R= 4}\) , dolną, też kołową o promieniu \(\displaystyle{ r= 2}\) leżących w płaszczyznach \(\displaystyle{ (x,y)}\) na wysokości \(\displaystyle{ z_d = 2 \ i \ z_g = 4 }\).

Wiedząc, że moment statyczny masy bryły wzlędem prostej (dowolnie wybranej) równy jest iloczynowi odległości jej środka od tej prostej i jej masy, i to, że moment statyczny całości masy jest równy sumie momentów składowych jej części względem tej prostej, możemy napisać równanie momentu masy krążka wyciętego w stożku o promieniu \(\displaystyle{ \rho}\) i grubości \(\displaystyle{ dz }\) odległego o \(\displaystyle{ y}\) od osi \(\displaystyle{ y }\) w formie różniczkowej:
\(\displaystyle{ z dV = dM = z \pi \rho^2 dz }\)

Dalej powinno być już "z górki".

[Adam99]

Dziękuję za odpowiedź, ale niestety jest raczej pod górkę.

Po pierwsze- dlaczego podstawy są na wysokościach \(\displaystyle{ z_{d} = 2}\) oraz \(\displaystyle{ z_{g} = 4}\)? Nie powinno być \(\displaystyle{ z_{d} = 1}\) i \(\displaystyle{ z_{g} = 2}\)?

A po drugie- zupełnie nie wiem jak użyć momentu statycznego, nie mieliśmy czegoś takiego.

[kruszewski]

Racja!
Podpowiadam rysunek a sam go nie sporządziłem.
Stąd taka wpadka.
Przepraszam.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Moment_statyczny_pola

Dodano po 1 godzinie 6 minutach 31 sekundach:
Wiemy, że ten stożek jako bryła obrotowa ma oś symetri na której wg zasady o położeniu środków ciężkości dla takich obiektów on leży.
Dwie ze współrzędnych środka ciężkości są więc znane.
\(\displaystyle{ x_c=0}\) , \(\displaystyle{ y_c = 0}\), trzecią obliczymy.
Niech prostą względem której obliczymy moment statyczny objętości stożka złożonej z krążków o grubości \(\displaystyle{ dz }\) będzie oś \(\displaystyle{ 0x}\) wtedy moment objętości krążka o promieniu \(\displaystyle{ \rho}\) i grubości \(\displaystyle{ dz}\) opisuje równanie:
\(\displaystyle{ dM = z \pi \rho^2 dz}\)
a całego stożka całka tego równania.
Wyobraźmy sobie teraz taką konstrukcję: na nieważkim poziomym i prostopadlym do osi ramieniu dźwigni jednostronnej opartej obrotowo na naszej prostej, na osi \(\displaystyle{ 0x}\), zawieszona jest (ciężka) objętość stożka w takiej odległości od osi \(\displaystyle{ (0x)}\) obrotu, że wywołuje moment\(\displaystyle{ M}\) równy obliczonemy tą całką. Zapytajmy o tę odległość od osi \(\displaystyle{ 0x}\).
Jest to pytanie o ramię środka objętości powodującej, wywołującej, obliczony moment. Można zauważyc, że jest pytanie o odległość od osi 0x w której reakcja równa \(\displaystyle{ V}\) podpierająca tę dźwignię zrównoważyłaby moment objętości obliczony względem osi \(\displaystyle{ 0x}\)
Zauważamy, że \(\displaystyle{ M = V \cdot z_c = \int_{1}^{2} dM = (*)}\)
Objętość stożka \(\displaystyle{ V}\) obliczymy elementarnie, jako różnicę objętości dwu stożków.

Stąd \(\displaystyle{ z_c = \frac{M}{V} }\) jest rzędną (wysokością) środka ciężkości tego stożka.
Zatem, współrzędne jego środka ciężkości są takie:
\(\displaystyle{ x_c=0, y_c = 0, z_c = \frac{M}{V}}\)