Całka oznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
marej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 12 mar 2021, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

Całka oznaczona

Post autor: marej »

Witam,
czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jak obliczono poniżej pokazaną całkę.
\(\displaystyle{ \Delta l= \frac{P}{E} \int\limits_{0}^{l} \frac{dx}{[a _{1}- \frac{x}{l} (a _{1}-a _{2})] ^{2}} =\frac{Pl}{Ea _{1} a _{2} } }\)
Z góry dziękuję.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Całka oznaczona

Post autor: Premislav »

Mamy
\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{(ax+b)^{2}}=-\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{ax+b}+C, \ a\neq 0 \ (*)}\)
(wystarczy zróżniczkować, żeby się przekonać, że działa; jeśli nie podoba Ci się całkowanie przez zgadywanie, to można celem wyliczenia tego najpierw wykonać podstawienie \(\displaystyle{ t=ax+b}\)).
Teraz jeśli wstawimy w \(\displaystyle{ (*), \
a:=-\frac{a_{1}-a_{2}}{l}, \ b=a_{1}}\)
, to otrzymamy
\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{\left[a_{1}-\frac{x}{l}(a_{1}-a_{2})\right]^{2}}=\frac{l}{a_{1}-a_{2}}\cdot \frac{1}{a_{1}-\frac{x}{l}(a_{1}-a_{2})}+C}\)
Wstawiamy granice całkowania i dostajemy
\(\displaystyle{ \int_{0}^{l}\frac{\mbox{d}x}{\left[a_{1}-\frac{x}{l}(a_{1}-a_{2})\right]^{2}}\\=\frac{l}{a_{1}-a_{2}}\cdot \frac{1}{a_{1}-\frac{l}{l}(a_{1}-a_{2})}-\frac{l}{a_{1}-a_{2}}\cdot \frac{1}{a_{1}-\frac{0}{l}(a_{1}-a_{2})}\\=\frac{l}{a_{1}-a_{2}}\left(\frac{1}{a_{2}}-\frac{1}{a_{1}}\right)\\=\frac{l}{a_{1}a_{2}}}\)
Mnożymy to przez ten iloraz \(\displaystyle{ \frac{P}{E}}\) (mam nadzieję, że to jest iloraz, a nie oznaczenie jakiejś funkcji od tej całki, bo toby znaczyło, żem się wygłupił) i mamy
\(\displaystyle{ \frac{P}{E}\int_{0}^{l}\frac{\mbox{d}x}{\left[a_{1}-\frac{x}{l}(a_{1}-a_{2})\right]^{2}}=\frac{Pl}{Ea_{1}a_{2}}}\)
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Całka oznaczona

Post autor: kruszewski »

Wzór
\(\displaystyle{ \Delta l= \frac{P}{E} \int\limits_{0}^{l} \frac{dx}{[a _{1}- \frac{x}{l} (a _{1}-a _{2})] ^{2}} =\frac{Pl}{Ea _{1} a _{2} } }\)
napisany w postaci
\(\displaystyle{ \Delta l = \frac{Pl} {E a_1 a_2} }\)
jako żywo przypomina wzór
\(\displaystyle{ \Delta l = \frac{P \cdot l}{E \cdot A} }\)
na przyrost długości rozciąganego pręta pryzmatycznego o długości \(\displaystyle{ l}\) i wymiarach poprzecznych \(\displaystyle{ a_1 }\) x \(\displaystyle{ a_2 }\)

Ciekawi mnie "pochodzenie" tej całki, a głównie funkcji podcałkowej.
Mogę poprosić o takie informacje?
marej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 12 mar 2021, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Całka oznaczona

Post autor: marej »

Dziękuję za rozwiązanie.

Całka pochodzi z książki Siemieniec Wolny Wytrzymałość Materiałów Cz I str 53
tu rozwiązanie zadania:
obrazek-matematyka.jpg
obrazek-matematyka.jpg (38.9 KiB) Przejrzano 198 razy
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Całka oznaczona

Post autor: kruszewski »

Dziękuję za odpowiedź.
Warto zauważyć, że \(\displaystyle{ a_1 \ i \ a_2}\) są średnimi wymiarami poprzecznymi tego pręta.

Dodano po 22 minutach 48 sekundach:
Proszę zwrócić uwagę na post
Całka oznaczona
Kolegi marej'a

Dodano po 6 godzinach 34 minutach 12 sekundach:
W przypadku tego zadania zdanie: " są średnimi wymiarami poprzecznymi tego pręta." nie jest prawdziwe bo są to wg dołączonego (później) rysunku miary krawędzi dwu prostokątnych przekrojów ostrosłupa.
Przepraszam za przedwczesne a zatem nieścisłe objaśnienie.
W.Kr.
ODPOWIEDZ