Dzień dobry,
Natknąłem się na zadanie, którego treść poleca narysować krzywą \(\displaystyle{ r=\cos{4\theta}}\) oraz obliczyć pole wyznaczonej przez nią figury. Nie miałem wcześniej styczności z takimi zadaniami, więc nie do końca wiem jaki jest najlepszy sposób na narysowanie takiego wykresu. Pierwszy pomysł, który przyszedł mi do głowy to wyznaczenie wartości 'charakterystycznych', czyli takich, dla którch \(\displaystyle{ r}\) będzie równe wartościom takim jak \(\displaystyle{ 1,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\ldots}\), a potem zaznaczenie odpowiednich punktów w układzie i dorysowanie reszty 'na oko'. Sposób ten wydaję mi się o tyle fajny, że już po wyznaczniu kątów, dla których \(\displaystyle{ r=1}\), to jak będzie wyglądała krzywa staje się dosyć oczywiste, jednak dla dokładniejszego jej narysowania wypada wyznaczyć też inne wartości, a z tego robi się już sporo obliczeń (biorąc nawet pod uwagę okresowość funkcji). Drugim pomysłem było przejście do układ kartezjańskiego, ale tutaj wydaję mi się, że na pewno nie jest to optymalny sposób.
Co do całki, napisałem coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}{\theta} \,d\theta = \frac{1}{4} \cdot \left(\theta + \sin{\theta} \cdot \cos{\theta} \right) \bigg|_{0}^{2\pi} = \frac{\pi}{2}}\)
Wydaję mi się, że pole jest obliczone poprawnie, ale i tak byłbym ogromnie wdzięczny za potwierdzenie. No i oczywiście, bardzo prosiłbym też o podpowiedź co do tego, w jaki sposób rysuje się takie krzywe.