Całka

[Julia0909]

Witam. O funkcji \(\displaystyle{ f}\) wiem tyle, że przyjmuje wartości w przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
1 & \textrm{gdy $ x\leq 0$}\\
0 & \textrm{gdy $ x\geq 1.$}
\end{array} \right.}\) Jak zatem policzyć całkę \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx}\)? Pozdrawiam.

[Janusz Tracz]

Definicja tej funkcji nie ma sensu. Nie wiadomo ile to jest \(\displaystyle{ f(0)}\).

[Julia0909]

Ale z definicji \(\displaystyle{ f(0)=1}\)

[Janusz Tracz]

Ah faktycznie wydawało mi się, że widzę coś innego. Tak czy inaczej zadanie nie ma sensu. Funkcja nie jest określona na \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\) więc nie ma sensu mówić o całce po \(\displaystyle{ \RR}\). Tak samo jak nie ma sensu mówić o całce \(\displaystyle{ \int_{-5}^{7}\ln x \dd x }\)

[Jan Kraszewski]

Funkcja nie jest określona na \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\)

E tam. Jest określona, tylko my nie wiemy, jak dokładnie. Wiemy tylko, że

przyjmuje wartości w przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\)

JK

[Julia0909]

E tam. Jest określona, tylko my nie wiemy, jak dokładnie. Wiemy tylko, że

przyjmuje wartości w przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\)

JK

Ale to chyba niewiele nam daje w kwestii liczenia całki?

[a4karo]

Daje. Przypomnij sobie definicję calki niewłaściwej

[Janusz Tracz]

E tam. Jest określona, tylko my nie wiemy, jak dokładnie. Wiemy tylko, że...

Ok. To też jest jakaś sensowna interpretacja która ratuje to zadanie. Zapis z klamerkami mnie zmylił.

Ale to chyba niewiele nam daje w kwestii liczenia całki?

Jeśli uznamy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest faktycznie określona na \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) }\) tylko nie wiemy jak. I wiemy, że \(\displaystyle{ f(x)\in [0,1]}\). To bez dodatkowych założeń nie wiemy nawet czy \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna. Więc dalej całka którą liczymy może nie istnieć. A jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna to całka jest rozbieżna do nieskończoności.

[Julia0909]

A jeżeli funkcja byłaby całkowalna powiedzmy na przedziale \(\displaystyle{ [a,b] }\) to wtedy jak wyliczyć tę całkę?

[Jan Kraszewski]

A co to jest, powiedzmy, przedział \(\displaystyle{ [a,b]}\)?

Jeżeli ta funkcja jest całkowalna, to masz oszacowanie od dołu \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\ge\int_{-\infty}^{0}f(x)dx=\int_{-\infty}^{0}dx. }\)

JK

[Julia0909]

Miałam na myśli w jaki sposób policzyć całkę \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx}\) dla tej mojej funkcji \(\displaystyle{ f}\), czy tego się nie da policzyć tylko też szacować? Po prostu jestem przyzwyczajona do całek z funkcji, które są określone jawnym wzorem typu \(\displaystyle{ f(x)=x, x\in \RR }\), a tutaj nie wiem jak mam to interpretować, skoro wiem tylko jakie funkcja przyjmuje wartości

[Jan Kraszewski]

Miałam na myśli w jaki sposób policzyć całkę \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx}\) dla tej mojej funkcji \(\displaystyle{ f}\), czy tego się nie da policzyć tylko też szacować?

Nie da się, o ile \(\displaystyle{ [a,b]}\) zahacza o \(\displaystyle{ [0,1]}\) bo nie wiesz, jak ta funkcja wygląda. Ale Ty masz całkę niewłaściwą, a to szacowanie od razu załatwia sprawę.

a tutaj nie wiem jak mam to interpretować, skoro wiem tylko jakie funkcja przyjmuje wartości

Wiesz, co to jest całka niewłaściwa? Znasz interpretację geometryczną całki oznaczonej?

JK