Całka oznaczona

[bartekw2213]

Witam, mam problem z zadaniem znajdującym się w zbiorze zadań z fizyki, ale moje pytanie dotyczy analizy matematycznej.
Na wejściu zadania mam podany wzór:
\(\displaystyle{ s = \int_{0}^{t_1}vdt}\)
Po krótce, żeby nie wtajemniczać w treść zadania i nie przedłużać, musimt obliczyć \(s\)
W rozwiązaniu do zadania podane są kolejne przekształcenia, w celu uzyskaniu podmiany za \(dt\)
\(\displaystyle{ v = 4x^2 + 4x + 0,5}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ t_1 = \frac{b}{v_1}}\)
\(\displaystyle{ t = \frac{a}{v_1} = \frac{bx}{v_1} \implies dt = \frac{b}{v_1}dx}\)
I teraz najważniejsze, otrzymaliśmy podmianę za te \(dt\) i wstawiamy to do wzoru, który mieliśmy na samym początku. W rozwiązaniu po podstawieniu jest to zapisane w taki sposób:
\(\displaystyle{ s = \frac{b}{v_1}\int_{0}^{1}(-4x^2 + 4x + 0,5)dx}\)
I teraz moje pytanie - czemu mamy ostatecznie \(\int_{0}^{1}\), a nie \(\int_{0}^{t_1}\) tak jak mieliśmy na starcie?

[janusz47]

Proszę o podanie pełnej treści zadania ze zbioru zadań z fizyki.

[bartekw2213]

Proszę o podanie pełnej treści zadania ze zbioru zadań z fizyki.

Prędkość wody w rzece zmienia się wraz z szerokością rzeki według równania: \(v = 4x 2 + 4x + 0,5\) [m/s], gdzie \(x = a/b\) (\(a\) jest odległością
od brzegu a \(b\) szerokością rzeki). O jaki odcinek prąd wody w rzece zniesie łódkę przy przeprawie na drugi brzeg, jeżeli prędkość \(v_1\) łódki względem wody jest stała i ma kierunek prostopadły do brzegu rzeki. szerokość rzeki wynosi \(d\).

W przekształceniach podanych przeze mnie na początku tematu \(t_1\) to czas przeprawy zaś \(t\) to czas, w którym łódka znajduje się w odległości \(a\) od brzegu.

[janusz47]

Dana jest

\(\displaystyle{ v(x) = -4x^2+ 4x + 0,5 }\) prędkość wody w rzece w zależności od szerokości rzeki -odległości jej brzegów.

Droga \(\displaystyle{ s, }\) którą przebędzie łódka w czasie przeprawy na drugi brzeg w czasie \(\displaystyle{ t_{1} }\) znoszona prądem rzeki

\(\displaystyle{ s = \int_{0}^{t_{1}} v \cdot dt \ \ (0) }\)

W całce występuje zmienna \(\displaystyle{ t }\), zaś prędkość prądu wody \(\displaystyle{ v }\) mamy podaną w zależności od szerokości rzeki, musimy więc przejść ze zmiennej \(\displaystyle{ t }\) na zmienną \(\displaystyle{ x. }\)

W tym celu korzystamy z dodatkowych danych, wynikających z treści zadania i zamiany zmiennych w całce oznaczonej latex] (0) [/latex]

\(\displaystyle{ x = \frac{a}{b}, \ \ a = b\cdot x \ \ (1) }\)

Czas przeprawy \(\displaystyle{ t_{1} = \frac{b}{v_{1}}}\)

Czas \(\displaystyle{ t }\), w którym łódka znajduje się w odległości \(\displaystyle{ a }\) od brzegu

\(\displaystyle{ t = \frac{a}{v_{1}} \ \ (2)}\)

Uwzględniając równanie \(\displaystyle{ (1) }\) w \(\displaystyle{ (2) }\)

mamy

\(\displaystyle{ t = \frac{b\cdot x}{v_{1}} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ x = \frac{v_{1} \cdot t}{b}.}\)

Różniczka czasu

\(\displaystyle{ dt = \frac{b}{v_{1}} dx }\)

Zmiana granic całkowania w całce oznaczonej

\(\displaystyle{ x(t_{1}= 0) = \frac{v_{1}\cdot 0}{b} = 0.}\)

\(\displaystyle{ x(t= t_{1}) = \frac{v_{1}}{b}\cdot \frac{b}{v_{1}} = 1}\)

\(\displaystyle{ s = \int_{0}^{1} v(x) \cdot \frac{b}{v_{1}} dx = \frac{b}{v_{1}}\int_{0}^{1}( -4x^2 +4x +0,5)dx = \frac{b}{v_{1}}\left [ -\frac{4}{3}x^3+ 4\frac{x^2}{2} + 0,5 x\right]_{0}^{1} = \frac{b}{v_{1}} \left[ -\frac{4}{3}\cdot 1^3 + 4\cdot \frac{1^2}{2} + \frac{1}{2}\cdot 1\right] = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{b}{v_{1}} \left [ -\frac{4}{3} + 2 + \frac{1}{2} \right] =\frac{7}{6} \frac{b}{v_{1}} \approx 1,17 \frac{b}{v_{1}}.}\)

[a4karo]

Dlaczego droga `s` wyrażona jest w sekundach `b/v_1`?

[bartekw2213]

\(\displaystyle{ s = \int_{0}^{t_{1}} v \cdot dt \ \ (0) }\)

mamy

\(\displaystyle{ t = \frac{b\cdot x}{v_{1}} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ x = \frac{v_{1} \cdot t}{b}.}\)

Zmiana granic całkowania w całce oznaczonej

\(\displaystyle{ x(t_{1}= 0) = \frac{v_{1}\cdot 0}{b} = 0.}\)

\(\displaystyle{ x(t= t_{1}) = \frac{v_{1}}{b}\cdot \frac{b}{v_{1}} = 1}\)

Czyli mam rozumieć, że jeśli mamy dowolne zmienne \(\displaystyle{ a \mbox{, } b \mbox{, } c \mbox{ i } d }\) oraz całkę \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}\ldots dc}\) i chcę dokonać zmiany z \(\displaystyle{ dc}\) na \(\displaystyle{ de}\) (ponieważ np. funkcja całkowana jest zależna od zmiennej \(\displaystyle{ e}\)) To po znalezieniu związku pomiędzy \(\displaystyle{ dc \mbox{ i } de}\) muszę dodatkowo zmienić granice całkowania. W tym celu obliczam je na podstawie funkcji \(\displaystyle{ e(c)}\) podsatwiając za \(\displaystyle{ c}\) kolejno \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\). Czy dobrze myślę?
Poza tym, ogrmone dzięki za pomoc z przykładem.

[janusz47]

Dobrze myślisz.