błąd przybliżenia całki niewłaściwej

[Terminator7]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Pokazać, że z błędem mniejszym niż 0,000042
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } e^{-x^{2}} dx \approx \int_{0}^{3}e^{-x^{2}} dx }\)

[Janusz Tracz]

Można zauważyć, że dla dowolnego \(\displaystyle{ N\in\NN}\) oraz \(\displaystyle{ x\in \RR}\) zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{N} \frac{x^{2n}}{n!} \le e^{x^2}}\)

zatem:

\(\displaystyle{ \left| \int_{0}^{ \infty }e^{-x^2} \dd x - \int_{3}^{ \infty }e^{-x^2} \dd x\right| = \int_{3}^{ \infty }e^{-x^2} \dd x \le \int_{3}^{ \infty } \frac{1}{\sum_{n=0}^{N} \frac{x^{2n}}{n!} } \dd x }\)

oczywiście ciąg \(\displaystyle{ \int_{3}^{ \infty } \frac{1}{\sum_{n=0}^{N} \frac{x^{2n}}{n!} } \dd x}\) jest malejący ze względu na \(\displaystyle{ N}\). Więc wystarczy wskazać konkretne \(\displaystyle{ N}\) takie, że prawa strona będzie mniejsza od \(\displaystyle{ 0.000042}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ \epsilon_N=\int_{3}^{ \infty } \frac{1}{\sum_{n=0}^{N} \frac{x^{2n}}{n!} } \dd x}\). Wtedy:

\(\displaystyle{
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
N & \epsilon_{N} \\ \hline
2 & 0.0216570545096 \\ \hline
4 & 0.00108283231429 \\ \hline
6 & 0.00018916507435 \\ \hline
8 & 0.00006568414391 \\ \hline
9 & 0.00004616362465 \\ \hline
10 & 0.00003543537822 \\ \hline
11 & 0.00002919276129 \\ \hline
13 & 0.00002311041758 \\ \hline
20 & 0.00001963755525 \\ \hline
\end{tabular}
}\)

czyli dla \(\displaystyle{ N \ge 10}\) dostajemy dostatecznie ciasne szacowanie aby udowodnić tezę. Tylko tak się zastanawiam czego w tym zadaniu wolno użyć. Może wystarczy popatrzeć do tablic rozkładu normlanego.

[a4karo]

@Janusz Tracz - a nie prościej kazać Wolframowi policzyć \(\displaystyle{ \int_3^\infty e^{-x^2}dx}\) ?

Korzystając z podstawienia `t=x^2` można szacować tak:
\(\displaystyle{ ]\int_3^\infty e^{-x^2}dx=\int_9^\infty \frac{e^{-t}}{2\sqrt{t}}dt<\frac{1}{6}\int_9^\infty e^{-t}dt=\frac{1}{6e^9}\approx 0.0000206}\)