Pole powierzchni walca

[2szeba]

Obliczyć pole powierzchni bryły przestrzennej \(\displaystyle{ P=\{(x,y,z):x^2+y^2\leq1,0\leq z\leq x+y+5\}}\). Wydaje mi się, że należy użyć całki powierzchniowej, ale nie wiem jak się do tego zabrać. Proszę o wskazówki.

[pkrwczn]

Dla \(\displaystyle{ 0<z<3}\) całkujemy pierścienie o promieniu jeden \(\displaystyle{ 2\pi\int_{0}^{3} \dd z }\). Na wysokości \(\displaystyle{ z=3}\) mamy przecięcie z płaszczyzną \(\displaystyle{ z=x+y+5}\), która liniowo zmniejsza \(\displaystyle{ 2\pi \dd z }\) do zera na wysokości \(\displaystyle{ z=7}\). Ta płaszczyzna ucina połowę tej powierzchni dla \(\displaystyle{ 3<z<7}\) czyli mamy

\(\displaystyle{ P_{boczna}=2\pi \int_{0}^{3} \dd z+ \frac{1}{2} \cdot 2\pi \int_{3}^{7}\dd z=10\pi }\).

Podstawą jest koło

\(\displaystyle{ P_{podstawa}=\pi r^2=\pi.}\)

Górę stanowi elipsa o półosiach \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{2^2+4^2}/2= \sqrt{5} }\), więc

\(\displaystyle{ P_{góra}= \sqrt{5} \pi}\).