Objętość bryły, trudny obszar

[Karol566]

Cześć, mam jeszcze jedno skomplikowane zadanko.
Trzeba obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią:
\(\displaystyle{ \left( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right) ^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}.}\)
Miałby ktoś jakiś pomysł jak się zabrać za tę powierzchnię?

[janusz47]

Zauważmy, że bryła jest symetryczna względem płaszczyzn prostokątnego układu współrzędnych \(\displaystyle{ \RR^{3} }\)

\(\displaystyle{ |V| = 8 \int\int\int_{V'} dxdy dz }\)

Uwzględniamy część bryły w pierwszym oktancie prostokątnego układu współrzędnych.

Wykorzystamy uogólnione współrzędne sferyczne

\(\displaystyle{ x = a\rho \sin^{\alpha}(\theta)\cos^{\beta}(\phi)}\)

\(\displaystyle{ y = b\rho \sin^{\alpha}(\theta)\sin^{\beta}(\phi), }\)

\(\displaystyle{ z = c\rho \cos^{\alpha}(\theta), \ \ 0\leq \theta \leq \pi, \ \ 0 \leq \phi \leq 2\pi, \ \ \rho > 0.}\)

Kładąc \(\displaystyle{ \alpha = \beta = 1, }\) mamy

\(\displaystyle{ |V| = 8abc\int\int\int_{V"} \rho^2 \sin(\theta) d\rho d\phi d\theta }\)

We współrzędnych sferycznych równanie powierzchni ma postać

\(\displaystyle{ \rho^2 = \sin^2(\theta) -\cos^2(\theta) }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3}{4}\pi. \ \ 0 \leq \phi \leq \frac{1}{2}\pi }\)

Po zamianie zmiennych

\(\displaystyle{ |V| = 8abc \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi} \sin(\theta)d\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\phi \int_{0}^{\sqrt{\sin^2(\theta)-\cos^2(\theta)}}\rho^2 d\rho.}\)

Proszę dokończyć obliczenie tej całki.