Pole obszaru między krzywymi: \(\displaystyle{ y=\ln x, x=e^2, y=-1}\)
Wykres:
Kod: Zaznacz cały
https://i.imgur.com/6Fk6J9u.pngMiejsca przecięcia:
\(\displaystyle{ \ln e^2=2}\)
\(\displaystyle{ \ln e^{-1} =-1}\)
Sposób pierwszy, przesuwam wykres \(\displaystyle{ \ln x}\) o 1 w górę, żeby wydzielony obszar był nad osią OX
\(\displaystyle{ \int_{ e^{-1} }^{e^2}\ln x+1dx=...}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \ln x+1dx= \int_{}^{} \ln xdx+ \int_{}^{} 1dx=\left\{\begin{array}{l} u=\ln x \ v'=1\\u'= \frac{1}{x} \ v=x \end{array}\right\}=\ln x \cdot x- \int_{}^{} 1dx+ \int_{}^{} 1dx=x\ln x+C}\)
\(\displaystyle{ ...=\left[ x\ln x\right] ^{e^2} _{ e^{-1} }=e^2 \cdot \ln e^2- e^{-1} \cdot \ln e^{-1} =2e^2+e^{-1} }\)
Sposób drugi, całkuje po \(\displaystyle{ dy}\)
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} e^2-e^ydy=...}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^2-e^y dy= -\int_{}^{} e^ydy+e^2 \int_{}^{} 1dy=-e^y+e^2y+C}\)
\(\displaystyle{ ...=\left[ e^2y-e^y\right] ^{2} _{-1 }=2e^2-e^2+ e^{2}+ e^{-1} =2e^2+ e^{-1} }\)