Droga rzuconego poziomo kamienia z pewnej wysokości

[Vermax]

Mam całkę, którą proszę o sprawdzenie, gdyż prawdopodobnie zrobiłem gdzieś błąd:

\(\displaystyle{ L=\int_0^{\sqrt{\frac{2H}{g}}} \sqrt{v_0^2+(gt)^2}dt}\)


\(\displaystyle{ \int \sqrt{v_0^2+g^2t^2}dt=(ax+b)\sqrt{v_0^2+g^2t^2}+A\int \frac{dt}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}\\ \frac{v_0^2+g^2t^2}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}=a\sqrt{v_0^2+g^2t^2}+(at+b)\frac{g^2t}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}+\frac{A}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}}\)

Z tego wychodzi mi a=0,5; b=0; a A=0,5v^2

zaś:
\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}=\frac{\sqrt{g^2}}{{g^2}}ln|2\sqrt{g^2(g^2t^2+v_0^2)}+2g^2t|}\)

czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{v_0^2+g^2t^2}dt=\frac{1}{2}t\sqrt{v_0^2+g^2t^2}+\frac{1}2{}v_0^2(\frac{\sqrt{g^2}}{{g^2}}ln|2\sqrt{g^2(g^2t^2+v_0^2)}+2g^2t|)}\)

[mizera03]

\(\displaystyle{ \int \sqrt{v_0^2 + (gt)^2} dt}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{3tg^2} ({v_0^2 + (gt)^2})^{\frac{3}{2}} + C}\)
to mi tak sie wydaje ale nie jestem pewny... lecz moze ci to w czyms pomoc. sprawdz czy pochodna tego po t jest rowna funkcji podcalkowej, moim zdaniem tak ale nie jestem w tym taki dobry;/ hehe

[luka52]

\(\displaystyle{ \int \sqrt{v_0^2 + g^2 t^2} \, \mbox{d}t = v_0 t \sqrt{1 + \frac{g^2}{v_0^2} t^2} \, \mbox{d}t}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ \sinh u = \frac{g}{v_0}t \iff \cosh u \, \mbox{d}u = \frac{g}{v_0} \, \mbox{d}t}\)
Całka (nieoznaczona) sprowadza sie do:
\(\displaystyle{ v_0 \frac{v_0}{g} t \cosh^2 u \, \mbox{d}u = v_0 \frac{v_0}{g} t \frac{1 + \cosh 2u}{2} \, \mbox{d}u = \frac{v_0^2}{g} ft( \frac{u}{2} + \frac{\sinh 2u}{4} \right) + C}\)
Zajmijmy się całką oznaczoną. Ponieważ:
\(\displaystyle{ u = \arcsinh \frac{gt}{v_0}}\), to gdy
\(\displaystyle{ t = 0 \iff u = 0\\
t = \sqrt{\frac{2H}{g}} \iff u = \mbox{arsinh} \frac{\sqrt{2gH}}{v_0}}}\)
Otrzymujemy zatem:
\(\displaystyle{ L = \frac{v_0^2}{g} ft( \frac{u}{2} + \frac{\sinh 2u}{4} \right) \Big|_0^{\mbox{arsinh} \frac{\sqrt{2gH}}{v_0}}}}\)
Nie będę się tutaj zbytnio rozpisywał, dodam jedynie iż \(\displaystyle{ \sinh ft( 2 \mbox{arsinh} x \right) = 2x \sqrt{1+x^2}}\)
A wynik jaki mi wyszedł to:
\(\displaystyle{ L = \frac{1}{2g} ft( \sqrt{2gH} \sqrt{v_0^2 + 2gH} + v_0^2 \ln \frac{\sqrt{v_0^2 + 2gH} + \sqrt{2gH}}{v_0} \right)}\)

[Vermax]

Wielkie dzięki, mam jeszcze jedną prośbę, czy mógłbyś zerknąć czy to co stworzyłem w moim pierwszym poście jest dobrze?

[luka52]

\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}=\frac{\sqrt{g^2}}{{g^2}}ln|2\sqrt{g^2(g^2t^2+v_0^2)}+2g^2t|}\)

Tutaj popełniłeś błąd, który zaważył na poprawności wyniku.

Powinno być:

czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{v_0^2+g^2t^2}dt=\frac{1}{2}t\sqrt{v_0^2+g^2t^2}+\frac{1}2{}v_0^2(\frac{\sqrt{g^2}}{{g^2}}ln|\sqrt{g^2(g^2t^2+v_0^2)}+g^2t|)}\)

(pomijam fakt, że wypadałoby trochę "posprzątać" wyrazy )

[Vermax]

Tak, tak Najładniej ten pierwiastek z g^2 na g^2 wygląda

Czemu bez "2"? To wprost z tablicy całek z Wikipedii liczyłem: ... wymiernych

[luka52]

Ajj... coś mi się musiało pomylić wcześniej Jeszcze raz zróżniczkowałem Twój wynik i wychodzi na to, że jest dobry.
A tych dwójek to się spokojnie można pozbyć, bo "podchodzą" one pod stałą całkowania.

[Vermax]

Ok, dziękuję