Całka oznaczona

[TheUniCat]

Hej, czy ktoś byłby na tyle miły i pomógł mi z tą całką?
Zaczynam dopiero rachunek całkowy i kompletnie nie wiem, jak się za to zabrać.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \sqrt{ \frac{16x^{10} + 4x^{6}}{9} } }\)

[Janusz Tracz]

A umiał byś poradzić sobie z całką bez ozdobników? Mam na myśli:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{x^{10}+x^6} \dd x = \int_{}^{} x^3 \sqrt{x^4+1} \dd x }\)

funkcja podcałkowa wygląda jak coś co może powstać jako pochodna \(\displaystyle{ \left( x^4+1\right)^{ \frac{1}{2} +1} }\). To dość mocna wskazówka aby coś podstawić.

[TheUniCat]

Wiem, że musiałbym podstawić, ale chyba coś plączę w trakcie przekształceń:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{x ^{6} + x ^{10} } dx = \int_{}^{} x ^{3} \sqrt{x ^{4} + 1 } dx }\)
\(\displaystyle{ t = x ^{4} + 1}\)
\(\displaystyle{ x ^{3} = \frac{t-1}{x} }\)
\(\displaystyle{ dt = 4x^{3}dx}\)
\(\displaystyle{ dx = \frac{dt}{4x ^{3} } }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t-1}{x} \cdot \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{4x ^{3} } = \int_{}^{} \frac{(t \sqrt{t} - \sqrt{t})dt }{4x ^{4} } }\)

Coś na pewno robię źle. (Możliwe że wszystko )

[Jan Kraszewski]

Zgadza się, wszystko źle.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{x ^{6} + x ^{10} } dx = \int_{}^{} x ^{3} \sqrt{x ^{4} + 1 } dx }\)
\(\displaystyle{ \blue{t = x ^{4} + 1}}\)
\(\displaystyle{ \red{x ^{3} = \frac{t-1}{x}} }\)
\(\displaystyle{ \blue{dt = 4x^{3}dx}}\)

Czerwone jest bez sensu, skup się na niebieskim.

JK

[Janusz Tracz]

Uwaga ogólne na przyszłość do zapisów w stylu:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t-1}{x} \cdot \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{4x ^{3} } = \int_{}^{} \frac{(t \sqrt{t} - \sqrt{t})dt }{4x ^{4} } }\)

Robiąc podstawienie wyprowadzasz się ze świata \(\displaystyle{ x}\)-sów i przeprowadzasz się do świata \(\displaystyle{ t}\). Nie możesz (a przynajmniej bardzo nieeleganckie jest) zapisanie w całce po przeprowadzce do świata \(\displaystyle{ t}\) jakichś \(\displaystyle{ x}\)-sów.

[TheUniCat]

Zgadza się, wszystko źle.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{x ^{6} + x ^{10} } dx = \int_{}^{} x ^{3} \sqrt{x ^{4} + 1 } dx }\)
\(\displaystyle{ \blue{t = x ^{4} + 1}}\)
\(\displaystyle{ \red{x ^{3} = \frac{t-1}{x}} }\)
\(\displaystyle{ \blue{dt = 4x^{3}dx}}\)

Czerwone jest bez sensu, skup się na niebieskim.

JK

Aha, faktycznie, dziękuję! To przez to czerwone przekształcenie nie potrafiłem tego policzyć.

Dodano po 29 sekundach:

Uwaga ogólne na przyszłość bo zapisów w stylu:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t-1}{x} \cdot \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{4x ^{3} } = \int_{}^{} \frac{(t \sqrt{t} - \sqrt{t})dt }{4x ^{4} } }\)

Robiąc podstawienie wyprowadzasz się ze świata \(\displaystyle{ x}\)-sów i przeprowadzasz się do świata \(\displaystyle{ t}\). Nie możesz (a przynajmniej bardzo nie eleganckie jest) zapisanie w całce po przeprowadzce do świata \(\displaystyle{ t}\) jakichś \(\displaystyle{ x}\)-sów.

Dziękuję za radę, na przyszłość postaram się tego unikać.

Dodano po 29 minutach 1 sekundzie:
Czy w takim razie to będzie poprawne rozwiązanie tej pierwszej całki?

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \sqrt{ \frac{4x ^{6} + 16x ^{10} }{9} } dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{2} \sqrt{x ^{6} + 4x ^{10} } dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{2} x ^{3} \cdot \sqrt{4x ^{4} + 1} dx }\)

\(\displaystyle{ t = 4x ^{4} + 1 }\)
\(\displaystyle{ dt = 16x ^{3}dx }\)
\(\displaystyle{ dx = \frac{dt}{16x ^{3} } }\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \int_{0}^{2} x ^{3} \cdot \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{16x ^{3} } = \frac{2}{3} \int_{0}^{2} \frac{ \sqrt{t}}{16}dt = \frac{2}{48} \int_{0}^{2} \sqrt{t} dt =\frac{2}{48} \int_{0}^{2} t ^{ \frac{1}{2} } = \frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{t ^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } \right] ^{2} _{0} =\\=\frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{2t ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } \right] ^{2} _{0} = \frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{(4x ^{4} + 1) ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } \right] ^{2} _{0} = \frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{ (4 \cdot 2 ^{4} + 1) ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } - \frac{ (4 \cdot 0 ^{4} + 1) ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 }\right] = \frac{65 \sqrt{65}-1 }{36} }\)

Ostatnie obliczenia już pominąłem, bo to strasznie dużo pisania, a mi bardziej chodzi o metodę.

[Janusz Tracz]

Wynik się zgadza ale ogólnie piszesz nieprawdę. Problem jest dość subtelny. Problem w tym, że:

\(\displaystyle{ \int_{\text{przedział całkowania}}^{}f(x) \dd x = \int_{\text{odpowiednio zmodyfikowany przedział całkowania}}^{}g(t) \dd t }\)

Bo przedział całkowania \(\displaystyle{ \left[ 0,2\right] }\) jest w świecie \(\displaystyle{ x}\)-sów, a w świecie \(\displaystyle{ t}\) ten przedział wygląda inaczej. W sensie granice całkowania najczęściej się zmieniają, gdy się robi podstawienie. Ty natomiast piszesz:

\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \int_{0}^{2} x ^{3} \cdot \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{16x ^{3} }}\)

Co znowu miesza zmienne \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ t}\). Ale potem jest jeszcze poważniejszy błąd:

\(\displaystyle{ ...=\frac{2}{48} \int_{0}^{2} \sqrt{t} dt = ... = \frac{65 \sqrt{65}-1 }{36}}\)

I to nie prawda. Bo nie zmieniłeś granic całkowania. Uratowało Cię tylko też, że policzyłeś tę całkę ale wróciłeś do zmiennej \(\displaystyle{ x}\). Gdybyś policzył to co piszesz chwilę wcześniej

\(\displaystyle{ ...=\frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{2t ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } \right] ^{2} _{0} =...}\)

to podejrzewam (z dużym prawdopodobieństwem), że wyjdzie inny wynik.

Podsumowując: jest nieźle ale pracuj na zapisem bo albo prędzej czy później się na czymś takim pomylisz albo będziesz tracić punkty mimo, że wynik jest jako taki słuszny.

[Jan Kraszewski]

Czy w takim razie to będzie poprawne rozwiązanie tej pierwszej całki?

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \sqrt{ \frac{4x ^{6} + 16x ^{10} }{9} } dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{2} \sqrt{x ^{6} + 4x ^{10} } dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{2} x ^{3} \cdot \sqrt{4x ^{4} + 1} dx }\)

\(\displaystyle{ t = 4x ^{4} + 1 }\)
\(\displaystyle{ dt = 16x ^{3}dx }\)
\(\displaystyle{ \blue{dx = \frac{dt}{16x ^{3} }} }\)

\(\displaystyle{ \red{\frac{2}{3} \int_{0}^{2} x ^{3} \cdot \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{16x ^{3} }} = \frac{2}{3} \int_{0}^{2} \frac{ \sqrt{t}}{16}dt = \frac{2}{48} \int_{0}^{2} \sqrt{t} dt =\frac{2}{48} \int_{0}^{2} t ^{ \frac{1}{2} } = \frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{t ^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } \right] ^{2} _{0} =\\=\frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{2t ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } \right] ^{2} _{0} = \frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{(4x ^{4} + 1) ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } \right] ^{2} _{0} = \frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{ (4 \cdot 2 ^{4} + 1) ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } - \frac{ (4 \cdot 0 ^{4} + 1) ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 }\right] = \frac{65 \sqrt{65}-1 }{36} }\)

Jeśli chodzi o czerwone, to Janusz Tracz pisał, żebyś nie robił takich rzeczy - zamiast niebieskiego lepiej jest napisać \(\displaystyle{ x ^{3}dx = \frac{dt}{16}}\).

Ważniejsze jest jednak, że to nie jest poprawna metoda - czym innym jest podstawianie w całce nieoznaczonej, a czym innym w całce oznaczonej. Podstawiając w całce oznaczonej trzeba jeszcze zmienić granice całkowania.

JK

[TheUniCat]

Wynik się zgadza ale ogólnie piszesz nieprawdę. Problem jest dość subtelny. Problem w tym, że:

\(\displaystyle{ \int_{\text{przedział całkowania}}^{}f(x) \dd x = \int_{\text{odpowiednio zmodyfikowany przedział całkowania}}^{}g(t) \dd t }\)

Bo przedział całkowania \(\displaystyle{ \left[ 0,2\right] }\) jest w świecie \(\displaystyle{ x}\)-sów, a w świecie \(\displaystyle{ t}\) ten przedział wygląda inaczej. W sensie granice całkowania najczęściej się zmieniają, gdy się robi podstawienie. Ty natomiast piszesz:

\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \int_{0}^{2} x ^{3} \cdot \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{16x ^{3} }}\)

Co znowu miesza zmienne \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ t}\). Ale potem jest jeszcze poważniejszy błąd:

\(\displaystyle{ ...=\frac{2}{48} \int_{0}^{2} \sqrt{t} dt = ... = \frac{65 \sqrt{65}-1 }{36}}\)

I to nie prawda. Bo nie zmieniłeś granic całkowania. Uratowało Cię tylko też, że policzyłeś tę całkę ale wróciłeś do zmiennej \(\displaystyle{ x}\). Gdybyś policzył to co piszesz chwilę wcześniej

\(\displaystyle{ ...=\frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{2t ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } \right] ^{2} _{0} =...}\)

to podejrzewam (z dużym prawdopodobieństwem), że wyjdzie inny wynik.

Podsumowując: jest nieźle ale pracuj na zapisem bo albo prędzej czy później się na czymś takim pomylisz albo będziesz tracić punkty mimo, że wynik jest jako taki słuszny.

Dziękuję za rady, postaram się je stosować

Dodano po 1 minucie 9 sekundach:

Czy w takim razie to będzie poprawne rozwiązanie tej pierwszej całki?

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \sqrt{ \frac{4x ^{6} + 16x ^{10} }{9} } dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{2} \sqrt{x ^{6} + 4x ^{10} } dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{2} x ^{3} \cdot \sqrt{4x ^{4} + 1} dx }\)

\(\displaystyle{ t = 4x ^{4} + 1 }\)
\(\displaystyle{ dt = 16x ^{3}dx }\)
\(\displaystyle{ \blue{dx = \frac{dt}{16x ^{3} }} }\)

\(\displaystyle{ \red{\frac{2}{3} \int_{0}^{2} x ^{3} \cdot \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{16x ^{3} }} = \frac{2}{3} \int_{0}^{2} \frac{ \sqrt{t}}{16}dt = \frac{2}{48} \int_{0}^{2} \sqrt{t} dt =\frac{2}{48} \int_{0}^{2} t ^{ \frac{1}{2} } = \frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{t ^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } \right] ^{2} _{0} =\\=\frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{2t ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } \right] ^{2} _{0} = \frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{(4x ^{4} + 1) ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } \right] ^{2} _{0} = \frac{2}{48} \cdot \left[ \frac{ (4 \cdot 2 ^{4} + 1) ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } - \frac{ (4 \cdot 0 ^{4} + 1) ^{ \frac{3}{2} } }{ 3 }\right] = \frac{65 \sqrt{65}-1 }{36} }\)

Jeśli chodzi o czerwone, to Janusz Tracz pisał, żebyś nie robił takich rzeczy - zamiast niebieskiego lepiej jest napisać \(\displaystyle{ x ^{3}dx = \frac{dt}{16}}\).

Ważniejsze jest jednak, że to nie jest poprawna metoda - czym innym jest podstawianie w całce nieoznaczonej, a czym innym w całce oznaczonej. Podstawiając w całce oznaczonej trzeba jeszcze zmienić granice całkowania.

JK

Dobrze, dziękuję, postaram się w takim razie jeszcze doczytać na temat granic i ich zmieniania.