Obliczenie całek

[sshizerr]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych całek:


1) \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \int_{0}^{4}5e ^{ -\frac{t}{4} } dt }\)

2) \(\displaystyle{ \frac{2}{4} \int_{0}^{4}5e ^{ -\frac{t}{4} } \cdot \cos\left( \frac{2k \pi t}{4}\right)dt }\)

3) \(\displaystyle{ \frac{2}{4} \int_{0}^{4}5e ^{ -\frac{t}{4} } \cdot \sin\left( \frac{2k \pi t}{4} \right) dt }\)

Dziękuje

[janusz47]

1.
Metoda podstawienia np. \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{4}t }\)

2. 3.
Dwukrotna metoda całkowania przez części.

[sshizerr]

1.
Metoda podstawienia np. \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{4}t }\)

2. 3.
Dwukrotna metoda całkowania przez części.

Dziękuje za odpowiedź

Pierwszą całkę obliczyłem i wyszedł mi wynik:\(\displaystyle{ -\frac{5}{e}+5}\) i wydaje mi się ok. Natomiast licząc drugą całkę uzyskałem wynik \(\displaystyle{ \frac{3\sin(2k \pi) }{4k \pi }}\) i tego wyniku nie jestem pewien, po sprawdzeniu wyniku na randomowym kalkulatorze w internecie. Ewentualnie proszę o podanie nazwy jakiegoś zaufanego kalkulatora, co bez problemu poda mi wynik.

Pozdrawiam

[a4karo]

W tych zadaniach nie chodzi o wynik, tylko o to jak liczysz te całkę. Lepiej pokaż obliczenia

Dodano po 50 sekundach:
Poprawny wynik nie jest dowodem, że całka została dobrze obliczona

Dodano po 2 godzinach 2 minutach 57 sekundach:
Nie wolno zamieszczać linków do obrazków. Drugie masz na pewno źle

[sshizerr]

W tych zadaniach nie chodzi o wynik, tylko o to jak liczysz te całkę. Lepiej pokaż obliczenia

Dodano po 50 sekundach:
Poprawny wynik nie jest dowodem, że całka została dobrze obliczona

Dodano po 2 godzinach 2 minutach 57 sekundach:
Nie wolno zamieszczać linków do obrazków. Drugie masz na pewno źle

Można tu wrzucić zdjęcie moich obliczeń (jeśli tak, proszę o wskazówki jak to zrobić)? Wyszły trochę obszerne, a nie wiem czy dobrze to liczę. Byłbym wdzięczny jakby ktoś rzucił okiem na to

[Jan Kraszewski]

Można tu wrzucić zdjęcie moich obliczeń?

Nie. Wszelkie wyrażenia matematyczne wpisujemy w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)u.

JK

[sshizerr]

Całka numer 3:

\(\displaystyle{ \frac{2}{4} \int_{0}^{4}5e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \sin( \frac{2k \pi t}{4})dt \longrightarrow \frac{5}{2} \int_{0}^{4}e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \sin( \frac{k \pi t}{2})dt }\)

Obliczenie całki:
\(\displaystyle{ \int e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \sin( \frac{k \pi t}{2})dt }\)

Pierwsze podstawienie:

\(\displaystyle{ u=e ^{- \frac{t}{4} } }\) ; \(\displaystyle{ v'=\sin( \frac{k \pi t}{2})}\)
\(\displaystyle{ u'= -\frac{1}4{} e ^{- \frac{t}{4} }}\) ; \(\displaystyle{ v= \frac{-2\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k \pi } }\)

\(\displaystyle{ e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{-2\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k \pi } - \int -\frac{1}4{} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{-2\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k \pi }dt }\)

Drugie podstawienie:

\(\displaystyle{ u= -\frac{1}{4} e ^{- \frac{t}{4} } }\) ; \(\displaystyle{ v'=\frac{-2\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k \pi }}\)
\(\displaystyle{ u'= \frac{1}{16} e ^{- \frac{t}{4} }}\) ; \(\displaystyle{ v= \frac{-4\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 } }\)

\(\displaystyle{ e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{-2\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k \pi }+\frac{1}{4} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot\frac{4\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 } - \int \frac{1}{16} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{-4\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 }dt}\)

Trzecie podstawienie:

\(\displaystyle{ u= \frac{1}{16} e ^{- \frac{t}{4} }}\) ; \(\displaystyle{ v'= \frac{-4\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 } }\)
\(\displaystyle{ u'= -\frac{1}{64} e ^{- \frac{t}{4} }}\); \(\displaystyle{ v= \frac{8\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k^3 \pi^3 } }\)

\(\displaystyle{ e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{-2\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k \pi }+\frac{1}{4} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot\frac{4\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 }-\frac{1}{16} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{8\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k^3 \pi^3 } - \int -\frac{1}{64} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{8\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k^3 \pi^3 }dt }\)

Czwarte podstawienie:

\(\displaystyle{ u= -\frac{1}{64} e ^{- \frac{t}{4} }}\); \(\displaystyle{ v'= \frac{8\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k^3 \pi^3 } }\)
\(\displaystyle{ u'= \frac{1}{256} e ^{- \frac{t}{4} }}\); \(\displaystyle{ v= \frac{16\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^4 \pi^4 } }\)

\(\displaystyle{ e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{-2\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k \pi }+\frac{1}{4} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot\frac{4\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 }-\frac{1}{16} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{8\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k^3 \pi^3 }+\frac{1}{64} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{-16\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^4 \pi^4 }- \int \frac{1}{256} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{16\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^4 \pi^4 }dt }\)


W sumie nie ma końca. Prosiłbym o naprowadzenie mnie

[a4karo]

W któryms momencie trzeba przestać wykonywać automatyczne ruchy i zacząć myśleć. Przyjrzyj się dokładnie temu, co masz po drugim kroku

[sshizerr]

W któryms momencie trzeba przestać wykonywać automatyczne ruchy i zacząć myśleć. Przyjrzyj się dokładnie temu, co masz po drugim kroku

\(\displaystyle{ e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{-2\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k \pi }+\frac{1}{4} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot\frac{4\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 } - \int \frac{1}{16} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{-4\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 }dt}\)


\(\displaystyle{ e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{-2\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k \pi }+\frac{1}{4} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot\frac{4\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 } - \int -\frac{1}{4} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 }dt}\)

Jak widać w całce \(\displaystyle{ \int -\frac{1}{4} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 }dt}\) powtarza się w podstawieniach \(\displaystyle{ -\frac{1}{4} e ^{-\frac{t}{4} }}\), więc otrzymujemy \(\displaystyle{ -\frac{1}{4} e ^{- \frac{t}{4} } \int \frac{\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 }dt}\)>. Całkując \(\displaystyle{ \int \frac{\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 }dt}\)> otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{-2\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k^3 \pi^3 }}\), ostatecznie rozwiazanie całki wyniesie:
\(\displaystyle{ e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{-2\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k \pi }+\frac{1}{4} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot\frac{4\sin( \frac{k \pi t}{2})}{k^2 \pi^2 } +\frac{1}{4} e ^{- \frac{t}{4} } \cdot \frac{2\cos( \frac{k \pi t}{2})}{k^3 \pi^3 }}\)

Proszę o sprawdzenie czy dobrze to rozwiązałem i ewentualne uwagi. Jeszcze zostaną granice do policzenia, ale z tym dam radę. Najgorsze dla mnie te całki, ponieważ dawno temu to miałem

[janusz47]

Jest to całka fourierowska i obliczając ją metodą całkowania przez części - po drugim całkowaniu, rozwiązujemy równanie całkowe względem całki \(\displaystyle{ \frac{5}{2}\int_{0}^{4} e^{-\frac{1}{4}t} \sin\left(\frac{k\cdot \pi}{2} t\right) \ \ (*) }\), przenosząc otrzymaną całkę (po drugim całkowawaniu) z prawej strony równania na lewą i wyłączając całkę \(\displaystyle{ (*) }\) przed nawias.

Proponuję od razu obliczać całkę oznaczoną , wtedy obliczenia w trakcie całkowania upraszczają się.


Wartość \(\displaystyle{ \cos(2k\pi) = (-1)^{ k}, \ \ k = 0,1,2,... }\)

[sshizerr]

Jest to całka fourierowska i obliczając ją metodą całkowania przez części - po drugim całkowaniu, rozwiązujemy równanie całkowe względem całki \(\displaystyle{ \frac{5}{2}\int_{0}^{4} e^{-\frac{1}{4}t} \sin\left(\frac{k\cdot \pi}{2} t\right) \ \ (*) }\), przenosząc otrzymaną całkę (po drugim całkowawaniu) z prawej strony równania na lewą i wyłączając całkę \(\displaystyle{ (*) }\) przed nawias.

Proponuję od razu obliczać całkę oznaczoną , wtedy obliczenia w trakcie całkowania upraszczają się.


Wartość \(\displaystyle{ \cos(2k\pi) = (-1)^{ k}, \ \ k = 0,1,2,... }\)

Dzięki wielkie za zaangażowanie. Głównie chodzi mi, żeby obliczyć całkę i już nie tworzyć równania względem tej całki (*). Problem mam wyłącznie z tym końcowym rozwiązaniem (po drugim całkowaniu). Jakby to było np. \(\displaystyle{ \int 2t^3*sin( \frac{k* \pi *t}{2}) }\) nie byłoby problemu, lecz z \(\displaystyle{ e ^{ -\frac{t}{4} } }\) nie mam pojęcia jak rozwiązać to. Jak będę miał już tą całkę nieoznaczoną obliczoną to z resztą sobie poradzę.

[janusz47]

Robisz błędy podczas całkowania.

[sshizerr]

Jeśli byłaby możliwości proszę o wskazanie błędów.

[janusz47]

Łatwiej obliczyć tą całkę niż wskazać błędy.

[sshizerr]

Dobrze. W takim razie byłbym wdzięczny za wytłumaczenie poprawnego rozwiązania tej całki, jeśli miałbyś chwile czasu.