Obliczenie całek

[janusz47]

\(\displaystyle{ \frac{5}{2}\int_{0}^{4}e^{-\frac{1}{4}t} \sin \left(\frac{k\pi}{2}t\right) dt = \frac{5}{2}\int_{0}^{4}\left(-4e^{-\frac{1}{4}t}\right)' \sin\left(\frac{k\pi}{2}t\right)dt = \frac{5}{2} \left \{\left [-4e^{-\frac{1}{4}t} \sin \left(\frac{k\pi}{2}t \right) \right]_{0}^{4} + 4 \frac{k\pi}{2}\int_{0}^{4} e^{-\frac{1}{4}t} \cos\left (\frac{k\pi}{2}t \right) dt \right \} = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{5}{2}\left[ -4e^{-1}\sin(2k\pi)+ 4e^0 \sin(0) + 2k\pi \int_{0}^{4}e^{-\frac{1}{4}t}\cos\left(\frac{k\pi}{2}t\right) dt \right] = 5k\pi\int_{0}^{4}e^{-\frac{1}{4}t}\cos \left(\frac{k\pi}{2}t\right)dt = 5k\pi \int_{0}^{4}\left(-4e^{-\frac{1}{4}t}\right)'\cos\left(\frac{k\pi}{2}t\right)dt=}\) \(\displaystyle{ = 5k\pi \left\{ \left[ -4e^{-\frac{1}{4}t}\cos\left(\frac{k\pi}{2}t \right)\right]_{0}^{4} - 2k\pi \int_{0}^{4}e^{-\frac{1}{4}t}\sin\left(\frac{k\pi}{2}t\right)dt \right\} = -20k \pi e^{-1}\cos(2k\pi) + 20k\pi e^{0}\cos(0) - 10k^2\pi^2 \int_{0}^{4}e^{-\frac{1}{4}t}\sin\left(\frac{k\pi}{2}t \right) dt. }\)

Dodajemy do obu stron równania \(\displaystyle{ +10k^2\pi^2\int_{0}^{4}e^{-\frac{1}{4}t}\sin\left(\frac{k\pi}{2}t\right)dt }\) i uwzględniamy równość \(\displaystyle{ \cos(2k\pi) = 1, \ \ k= 0, 1,2,...}\)

Otrzymujemy równanie

\(\displaystyle{ 10k^2 \pi^2 \int_{0}^{4} e^{-\frac{1}{4}t}\sin\left(\frac{k\pi}{2}t\right)dt + \frac{5}{2}\int_{0}^{4}e^{-\frac{1}{4}t} \sin \left(\frac{k\pi}{2}t\right) dt = -20k \pi e^{-1}\cdot 1 + 20k\pi }\)

Po lewej stronie równania wyłączamy całkę \(\displaystyle{ \frac{5}{2}\int_{0}^{4}e^{-\frac{1}{4}t} \sin \left(\frac{k\pi}{2}t\right) dt }\) przed nawias

\(\displaystyle{ \frac{5}{2}\int_{0}^{4}e^{-\frac{1}{4}t} \sin \left(\frac{k\pi}{2}t\right) dt\cdot \left(4k^2\pi^2 + 1\right) = -20k \pi e^{-1} + 20k\pi }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{5}{2}\int_{0}^{4}e^{-\frac{1}{4}t} \sin \left(\frac{k\pi}{2}t\right) dt = \frac{-20k\pi e^{-1} +20k\pi }{4k^2\pi^2 +1}= \frac{20k\pi[-e^{-1} +1]}{4k^2\pi^2 +1} = \frac{20k\pi[ 1 - e^{-1}]}{1 +4k^2\pi^2}, \ \ k=0,1,2,...}\)

Dodano po 2 minutach 5 sekundach:
Korekta:

\(\displaystyle{ \cos(2k\pi) = 1. \ \ k =0,1,2,... }\)

[sshizerr]

\(\displaystyle{ \frac{5}{2}\left[ -4e^{-1}\sin(2k\pi)+ 4e^0 \sin(0) + 2k\pi \int_{0}^{4}e^{-\frac{1}{4}t}\cos\left(\frac{k\pi}{2}t\right) dt \right] }\)

W obliczeniach raczej nie uwzględniłeś \(\displaystyle{ \frac{5}{2}[-4e ^{-1}\sin(2k \pi ) ] }\), lecz i tak mi to dużo pomogło w rozwiązaniu

Ostatecznie uzyskałem wynik jak z kalkulatora czyli:

\(\displaystyle{ \frac{-10\sin(2k \pi )-20k \pi \cos(2k \pi)}{4k^2 \pi ^2e^1+e^1}+ \frac{20k \pi i}{4k^2 \pi ^2+1} }\)

Dzięki za pomoc !

[janusz47]

Nie uwzględniłem, bo iloczyn jest równy zeru \(\displaystyle{ \sin(2k\pi) = 0, \ \ k=0,1,2,3.}\) Czy znasz wykres funkcji sinus?

Dodano po 10 minutach 58 sekundach:
Twój kalkulator "przeniósł " potęgę \(\displaystyle{ e^{-1} = \frac{1}{e} }\) do mianownika.

[sshizerr]

Zgadza się, że \(\displaystyle{ e ^{-1}}\) zostało przeniesione do mianownika i tak samo ja zrobiłem w obliczeniach. Znam funkcje sinus, aczkolwiek nie chciałem uwzględniać od razu "k" i zostawiłem to w postaci \(\displaystyle{ \sin(2 \pi k) }\). Także wszystko się zgadza