Obliczenie pola figury z całek

[Karol566]

Cześć, mam takie zadania:
1.Obliczyc pole figury ograniczonej krzywymi
\(\displaystyle{ x^2=2y}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2-4y=0}\)
Próbowałem sobie narysować te wykresy ale nakładają mi się. Nie umiem sobie wyobrazić jak to wygląda
2.Obliczyć pole tej części obszaru ograniczonego krzywą \(\displaystyle{ r=\sin(2\phi)}\) które zawarte jest wewnątrz okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2= \frac{1}{2} }\)
Z drugim próbowałem obliczyć połowę pola nad osią x, ale nie wiem jak obliczyć ten kawałek którego pole muszą odjąć od połowy pola koła

[kerajs]

1. Parabola \(\displaystyle{ x^2=2y}\) dzieli koło \(\displaystyle{ x^2+(y-2)^2 \le 4}\) na trzy obszary. Pole prawego dolnego to:
\(\displaystyle{ P= \int_{0}^{2}( \frac{x^2}{2}-(2- \sqrt{4-x^2} )) \dd x =... }\)

2. w I ćwiartce krzywa \(\displaystyle{ r=\sin(2\phi)}\) (taki listek koniczyny) przecięta jest okręgiem \(\displaystyle{ x^2+y^2= \frac{1}{2} }\)
Pole tego ściętego listka to:
\(\displaystyle{ P= \int_{0}^{ \frac{\pi}{8} } ( \int_{0}^{ \sin 2\phi } r \dd r) \dd \phi + \int_{\frac{\pi}{8}}^{ \frac{3\pi}{8} } ( \int_{0}^{ \frac{1}{2} } r \dd r) \dd \phi + \int_{ \frac{3\pi}{8} }^{\frac{\pi}{2}} ( \int_{0}^{ \sin2\phi } r \dd r) \dd \phi =...}\)
Analogiczna figura jest w III ćwiartce.

[Karol566]

Dzięki wielkie za pomoc, pierwsze mi się rozjaśniło, a dałoby się drugie jakoś zrobić bez używania podwójnych całek? Nie mieliśmy jeszcze tego na zajęciach

[janusz47]

Wykonujemy wykres jednego z czerech liści krzywej \(\displaystyle{ r = \sin(2\phi) }\) w pierwszej ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych i

okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 }\)

Zaznaczamy w pierwszej ćwiartce pole \(\displaystyle{ S_{I} }\) między tymi krzywymi.

Korzystamy ze wzoru na pole za pomocą całki oznaczonej między krzywymi w postaci parametrycznej:

\(\displaystyle{ |S| = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2 (\phi)d\phi }\)

Znajdujemy wartości miar kątów \(\displaystyle{ \alpha, \beta. }\)

W tym celu rozwiązujemy układ równań parametrycznych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} r = \sin(2\phi) \\ r = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \sin(2\phi) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) }\)

\(\displaystyle{ 2\phi = \frac{\pi}{4} }\)

\(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{8}. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ |S_{I}| = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \sin^2(2\phi) d\phi + \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 d\phi = I_{1} + I_{2}}\)

\(\displaystyle{ I_{1} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \sin^2(2\phi) d\phi = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \frac{1}{2}\left[1 -\cos(4\phi)\right]d\phi = \frac{1}{4}\left[ \phi - \frac{\sin(4\phi)}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{8}}= \frac{1}{4}\left[ \frac{\pi}{8} -\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{4} - (0-0)\right] =\frac{1}{32}\pi - \frac{1}{16}.}\)

\(\displaystyle{ I_{2} = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 d\phi = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}d\phi = \frac{1}{4} \left[ \phi \right]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{8}\pi - \frac{1}{32}\pi = \frac{3}{32}\pi. }\)

\(\displaystyle{ S_{I} = \frac{1}{32}\pi - \frac{1}{16} + \frac{3}{32}\pi = \frac{4}{32}\pi - \frac{1}{16} = \frac{1}{8}\pi - \frac{1}{16}.}\)

[kerajs]

Wykonujemy wykres jednego z czerech liści krzywej \(\displaystyle{ r = \sin(2\phi) }\) w pierwszej ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych

To kwestia umowy czy promień wodzący może przyjmować wartości ujemne. Dlatego moja krzywa ogranicza tylko dwa obszary, a nie cztery.

(...)

\(\displaystyle{ \sin(2\phi) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) }\)

\(\displaystyle{ 2\phi = \frac{\pi}{4} }\)

\(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{8}. }\)

Stąd

Wszystko co jest dalej wymaga poprawy, gdyż zgubiłeś drugie rozwiązanie w I ćwiartce, czyli: \(\displaystyle{ \phi = \frac{3\pi}{8}. }\) .
Moim zdaniem, porównywanie argumentów w równaniu trygonometrycznym nie jest dobrym pomysłem.

[janusz47]

Skorzystaliśmy z obliczenia pola za pomocą pojedynczej całki oznaczonej, gdy krzywe dane są w postaci parametrycznej. to co mieliśmy porównywać, jak nie argumenty.

[kerajs]

Napiszę wprost, skoro nie rozumiesz.
To równanie:

\(\displaystyle{ \sin(2\phi) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) }\)

\(\displaystyle{ 2\phi = \frac{\pi}{4} }\)

\(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{8}. }\)

jest źle rozwiązane.
Błąd mało istotny jest w pierwszej linijce. Równanie ma trzy strony.
Błąd istotny jest w kolejnych, gdyż gubisz drugie rozwiązanie z pierwszej ćwiartki, tj: \(\displaystyle{ \phi_2= \frac{3 \pi }{8}}\)

przykładowe rozw.:    

\(\displaystyle{ t_0= \frac{ \pi }{4}\\
t_1=t_0+k2 \pi \ \ \ \vee \ \ \ t_2= \pi -t_0+k2 \pi \\
\phi_1=\frac{ \pi }{8}+k \pi \ \ \ \vee \ \ \ \phi_2= \frac{ \pi }{2}-\frac{ \pi }{8}+k \pi \\
\phi_1=\frac{ \pi }{8}+k \pi \ \ \ \vee \ \ \ \phi_2= \frac{3 \pi }{8}+k \pi }\)

Dlatego pole \(\displaystyle{ S_I}\) jest źle policzone.

Proponuję policzenie tylko połowy tego obszaru, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} |S_{I}| = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \sin^2(2\phi) d\phi + \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 d\phi = I_{1} + I_{2}}\)
co wymagać będzie jedynie drobnych zmian.

[janusz47]

Dzięki za zauważenie drugiego rozwiązania.