Zbadaj zbieżność, trudna całka

[Karol566]

Cześć, muszę sprawdzić zbieżność takiej całki:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi }{ \frac{\cos x}{\pi^x-1} } \dd x }\)
Nie mogę jej uciąglić w punkcie \(\displaystyle{ 0}\), bo dąży do nieskończoności, kryterium porównawcze chyba też przez to odpada, a kryterium Dirichleta jest z tego co mi wiadomo tylko gdy górna granica całkowania wynosi nieskończoność.

[Tmkk]

Jedyny problem pojawia się przy zerze, skorzystamy z kryterium asymptotycznego (takie porównawcze tylko, że zamiast szacować, liczy się granicę).

Mamy \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\pi^x -1}{x} = \ln{\pi}}\), więc \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos{x}}{\pi^x -1}}{\frac{1}{x}} = \ln{\pi}}\). Wobec tego, przy zerze ta całka zachowuje jak całka z funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\), czyli jest rozbieżna.

[Karol566]

Dzięki wielkie za pomoc, a jeszcze jak możemy wykazać rozbieżność całki \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\)?
Czy muszę policzyć wtedy całkę z tej funkcji na takim samym przedziale jak głównej całki?

[Janusz Tracz]

Dzięki wielkie za pomoc, a jeszcze jak możemy wykazać rozbieżność całki \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\)?

Z definicji całki niewłaściwej. Liczysz

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi } \frac{1}{x} \dd x = \lim_{ \epsilon \to 0^{+}} \int_{\epsilon }^{ \pi } \frac{1}{x} \dd x =\lim_{ \epsilon \to 0^{+}} \left( \ln \pi -\ln \epsilon\right) =... }\)

Czy muszę policzyć wtedy całkę z tej funkcji na takim samym przedziale jak głównej całki?

Niekoniecznie. Ważne jest to jak całka zachowuje się w okolicy \(\displaystyle{ 0}\). Więc możesz liczyć całkę po mniejszym przedziale. Ważne jest to aby liczyć całki po przedziałach na których funkcja jest określona.

[Karol566]

Dzięki!!