Udowodnić że całka należy do przedziału

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Karol566
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 6 lis 2020, o 12:54
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 1 raz

Udowodnić że całka należy do przedziału

Post autor: Karol566 »

Cześć, mam taką funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{1+x^4}}\)
Muszę pokazać, że jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) (tu chyba wystarczy to, że jest ciągła jako złożenie funkcji elementarnych?)
Problem z zadaniem jest taki, że muszę wykazać, że wynik całki na tym przedziale należy do przedziału \(\displaystyle{ [1,2]}\)
Z góry dziękuję za pomoc
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Udowodnić że całka należy do przedziału

Post autor: Janusz Tracz »

Tak. Do całkowalności wystarczy ciągłość. Co do oszacowania to z interpretacji geometrycznej wynika, że:

\(\displaystyle{ \left( b-a\right) \inf_{x\in \left[ a,b\right] }f(x) \le \int_{a}^{b}f(x) \dd x \le (b-a)\sup_{x\in \left[ a,b\right] }f(x) }\)
Karol566
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 6 lis 2020, o 12:54
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Udowodnić że całka należy do przedziału

Post autor: Karol566 »

Że też na to nie wpadłem. Dzięki wielkie za szybką odpowiedź
ODPOWIEDZ