Czy to da się scałkować?

[rhcp89]

Dzień dobry,

Proszę o pomoc z całkowaniem - bo wychodzą dziwne rzeczy:


Chcę znaleźć V - (objętość):

\(\displaystyle{ V= \int_{}^{} Q \dd t }\) ?

Natomiast Q (strumień objętości) równa się:

\(\displaystyle{ Q=Av=z2 \pi x \frac{ \dd x }{\dd t} }\) (A-powierzchnia walca o wysokości \(\displaystyle{ z}\) i promieniu \(\displaystyle{ x}\), v-prędkość)

teraz wyrażam \(\displaystyle{ z}\) poprzez \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ t}\):

\(\displaystyle{ v= \frac{ \dd x }{ \dd t } }\) ale też \(\displaystyle{ v=k \frac{ \dd z }{ \dd x } }\) (k - stała)

więc: \(\displaystyle{ \frac{ \dd x }{ \dd t }=k \frac{ \dd z }{ \dd x}}\)

z tego wychodzi, ze \(\displaystyle{ z= \frac{x \dd x }{k \dd t } }\) i podstawiam to do wzoru na \(\displaystyle{ Q}\):

\(\displaystyle{ Q=Av=\frac{x \dd x }{k \dd t }2 \pi x \frac{ \dd x }{ \dd t } }\) . Teraz całkuję to \(\displaystyle{ Q}\) po \(\displaystyle{ \dd t }\) (chcę otrzymać objętość V):

\(\displaystyle{ V= \int_{}^{} \frac{x \dd x }{k \dd t }2 \pi x \frac{ \dd x }{ \dd t } \dd t }\) , po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ V= \frac{2 \pi }{k} \int_{}^{} \frac{ x^{2} \dd x ^{2} }{ \dd t} }\)

No i co teraz ? Chciałem całkować po \(\displaystyle{ \dd t }\) a ten wyraz jest w mianowniku a nie w liczniku. Poza tym mam kwadrat różniczki \(\displaystyle{ x}\) w tym wyrażeniu podcałkowym. Dla mnie to jest bardzo egzotyczne. Mogę to podwójnie scałkować po \(\displaystyle{ \dd x }\) ale wtedy zostanie mi jeszcze rózniczka \(\displaystyle{ dt}\) w mianowniku. Mam tu pewien pomysł ale raczej nie jest dobry.

[janusz47]

Całkowita powierzchnia walca: \(\displaystyle{ 2\pi x^2 + 2\pi x z = 2\pi(x^2 + xz), }\)

Prędkość liniowa strumienia objętościowego nie może być chwilową zmianą promienia walca \(\displaystyle{ x }\) w czasie?

[rhcp89]

Może byłem tu niedokładny: - w tym wzorze na Q bierze się tylko pod uwagę powierzchnię boczną walca - powierzchnie jego podstaw nie mają tu znaczenia.
Tak - pochodna promienia \(\displaystyle{ x}\) względem czasu jest prędkością liniową strumienia objętości Q.

Dodatkowo rysunki i szersze wytłumaczenie tego problemu jest na: