Oblicz całkę Riemanna-Stieltjesa

[Szwanceneger]

Czy mógłby ktoś wytłumaczyć jak się postępuje przy takich całkach? \(\displaystyle{ \int_{0}^{13 \pi }x^{4} \dd (-\cos(x)) }\)

[Tmkk]

Dla funkcji \(\displaystyle{ g\in C^1[a,b]}\) (to można osłabić, ale tutaj wystarczy), zachodzi

\(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\mbox{d}g(x) = \int_a^b f(x)g'(x)\mbox{d}x}\).

Więc w zasadnie różniczkujesz sobie cosinusa i liczysz jak normalną całkę.

[Janusz Tracz]

Można tu skorzystać z faktu, iż różniczkowalność \(\displaystyle{ -\cos x}\) pozwala tą całkę sprawodzić do zwykłej całki Riemanna. Ogólnie to zauważ, że \(\displaystyle{ \dd \left( -\cos x\right)=\sin x \dd x }\) podstawiasz i liczysz standardową całkę.

[Szwanceneger]

Czyli nie trzeba tu zmieniać znaków kiedy funkcja z różniczki zmienia swój znak?

[Janusz Tracz]

Nie trzeba, tak jak pisze Tmkk zachodzi podany wzór gdy \(\displaystyle{ g'}\) istnieje.