Dzień dobry,
Dawno już nie całkowałem, Mathematicę też już słabo pamiętam a muszę wyznaczyć całkę oznaczoną:
\(\displaystyle{ \int_{r}^{R} \sqrt{\ln{x}+ \frac{ \pi k h^{2} }{Q} -\ln{r} } \dd x }\)
Muszę to obliczyć dla pewnej organizacji pozarządowej. Mam mało czasu - te obliczenia trzeba szybko wysłać do urzędu.
Wyrażenie pod pierwiastkiem ma zawsze wartość dodatnią, w ogóle zmienna x i wszystkie parametry są zawsze dodatnie.
Jak już jakoś mi się udało w Mathematice zaznaczyć, że wyrazenie podpierwiastkowe jest dodatnie to pojawiał się wynik się wynik z funkcją błędu Gaussa "erf" - nie chcę takich dziwnych rzeczy. Ewentualnie rozwiązanie może być numeryczne.
Dziękuję za pomoc.
Całka funkcji złożonej - proszę o pomoc!
Re: Całka funkcji złożonej - proszę o pomoc!
Przepraszam pomyliłem się. Rozwiązanie numeryczne nie wchodzi w grę, bo wszystkim parametrom poza "k" nie mogę jeszcze przypisać danej wartości - ta całka ma mi później posłużyć do wyprowadzenia wzoru na "R" względem: "h", "r" , "Q".
No chyba, że można zrobić takie rozwiązanie numeryczne gdzie te parametry pozostają parametrami bez przypisanej konkretnej wartości przed tym całkowaniem numerycznym.
No chyba, że można zrobić takie rozwiązanie numeryczne gdzie te parametry pozostają parametrami bez przypisanej konkretnej wartości przed tym całkowaniem numerycznym.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Całka funkcji złożonej - proszę o pomoc!
Zacznę od zdefiniowania \(\displaystyle{ a:=\frac{ \pi k h^{2} }{Q} -\ln{r}}\) co ułatwi zapiski przy jednoczesnym zachowaniu względnej ogólności. Do policzenia jest:
Niech \(\displaystyle{ f_a(x)=\sqrt{\ln x+a} }\). Całka nieoznaczona z \(\displaystyle{ f_a(x)}\) jest nieelementarna dlatego dostajesz funkcje typu \(\displaystyle{ \text{erf}}\), gdy próbujesz na siłę liczyć powyższą całkę oznaczoną. Niestety nie wiele można z tym zrobić. Jedyne możliwości to: zamienić \(\displaystyle{ \text{erf}}\) na jeszcze inne dziwactwo lub się przyzwyczaić do \(\displaystyle{ \text{erf}}\). Jeśli jednak dopuszczasz możliwość rozwiązania numerycznego przy jednoczesnym zachowaniu parametrów to mam pewną propozycję. Zauważyłem, że dla dość szerokiego spektrum parametrów \(\displaystyle{ r,R,a}\) zachodzi dość dobre oszacowanie:
Zatem dostaniesz dobre oszacowanie całki którą masz do policzenia gdy policzysz:
\(\displaystyle{ \eqalign{\int_{r}^{R}\frac{\sqrt{\operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +a}\, \left( \frac{4}{r+R}x-2 +4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a\right) }{4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a} \dd x &= \frac{\sqrt{\operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +a}}{4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a} \int_{r}^{R} \left( \frac{4}{r+R}x-2 +4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a\right) \dd x = \cr &= \frac{\sqrt{\operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +a}}{4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a} \left[ \frac{2x^2}{r+R}+\left(4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a-2\right)x \right] \Bigg|_{r}^R
} }\)
Zatem całkiem niezłym przybliżeniem dynamicznie dostosowującym się do parametrów \(\displaystyle{ r,R,a}\) jest:
Możesz też spróbować czegoś takiego. Zdefiniujmy \(\displaystyle{ \mathfrak{G}_{r,a}:\left[ e^{-a}, \infty \right)\to \mathfrak{G}_{r,a}\left[ \left[ e^{-a}, \infty \right)\right] }\) jako funkcję górnej granicy całkowania. Czyli funkcję daną wzorem:
taka funkcja z definicji jest suriekcją, a ponieważ \(\displaystyle{ f_a(x)}\) jest rosnąca to \(\displaystyle{ \mathfrak{G}_{r,a}}\) też, zatem \(\displaystyle{ \mathfrak{G}_{r,a}}\) jest iniekcją. Ostatecznie zatem \(\displaystyle{ \mathfrak{G}_{r,a}}\) jest bijekcją czyli istnieje \(\displaystyle{ \mathfrak{G}^{-1}_{r,a}}\) pozwalająca na wyliczanie szukanego \(\displaystyle{ R}\). Mianowicie:
szansy na odkrycie wzoru (lub przybliżenia) \(\displaystyle{ \mathfrak{G}^{-1}_{r,a}}\) można by szukać w.
\(\displaystyle{ \int_{r}^{R} \sqrt{\ln x+a} \dd x }\)
Niech \(\displaystyle{ f_a(x)=\sqrt{\ln x+a} }\). Całka nieoznaczona z \(\displaystyle{ f_a(x)}\) jest nieelementarna dlatego dostajesz funkcje typu \(\displaystyle{ \text{erf}}\), gdy próbujesz na siłę liczyć powyższą całkę oznaczoną. Niestety nie wiele można z tym zrobić. Jedyne możliwości to: zamienić \(\displaystyle{ \text{erf}}\) na jeszcze inne dziwactwo lub się przyzwyczaić do \(\displaystyle{ \text{erf}}\). Jeśli jednak dopuszczasz możliwość rozwiązania numerycznego przy jednoczesnym zachowaniu parametrów to mam pewną propozycję. Zauważyłem, że dla dość szerokiego spektrum parametrów \(\displaystyle{ r,R,a}\) zachodzi dość dobre oszacowanie:
\(\displaystyle{ f_a(x) \approx \frac{f_a\left( \frac{r+R}{2} \right) \cdot \left( \frac{4}{r+R}x-2 +4f_a^2\left( \frac{r+R}{2} \right)\right) }{4f_a^2\left( \frac{r+R}{2} \right) } }\)
\(\displaystyle{ \blue{\sqrt{\ln x+a}} \approx \red{\frac{\sqrt{\operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +a}\, \left( \frac{4}{r+R}x-2 +4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a\right) }{4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a}} }\)
obrazkowy dowód:
\(\displaystyle{ \eqalign{\int_{r}^{R}\frac{\sqrt{\operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +a}\, \left( \frac{4}{r+R}x-2 +4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a\right) }{4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a} \dd x &= \frac{\sqrt{\operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +a}}{4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a} \int_{r}^{R} \left( \frac{4}{r+R}x-2 +4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a\right) \dd x = \cr &= \frac{\sqrt{\operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +a}}{4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a} \left[ \frac{2x^2}{r+R}+\left(4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a-2\right)x \right] \Bigg|_{r}^R
} }\)
Zatem całkiem niezłym przybliżeniem dynamicznie dostosowującym się do parametrów \(\displaystyle{ r,R,a}\) jest:
\(\displaystyle{ \int_{r}^{R} \sqrt{\ln x+a} \dd x \approx \frac{\sqrt{\operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +a}}{4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a} \left( \left[ \frac{2R^2}{r+R}+\left(4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a-2\right)R \right] - \left[ \frac{2r^2}{r+R}+\left(4 \operatorname{ln}\left( \frac{r+R}{2}\right) +4 a-2\right)r \right]\right) }\)
Możesz też spróbować czegoś takiego. Zdefiniujmy \(\displaystyle{ \mathfrak{G}_{r,a}:\left[ e^{-a}, \infty \right)\to \mathfrak{G}_{r,a}\left[ \left[ e^{-a}, \infty \right)\right] }\) jako funkcję górnej granicy całkowania. Czyli funkcję daną wzorem:
\(\displaystyle{ \mathfrak{G}_{r,a}\left( R\right)= \int_{r}^{R} \sqrt{\ln x+a} \dd x}\)
taka funkcja z definicji jest suriekcją, a ponieważ \(\displaystyle{ f_a(x)}\) jest rosnąca to \(\displaystyle{ \mathfrak{G}_{r,a}}\) też, zatem \(\displaystyle{ \mathfrak{G}_{r,a}}\) jest iniekcją. Ostatecznie zatem \(\displaystyle{ \mathfrak{G}_{r,a}}\) jest bijekcją czyli istnieje \(\displaystyle{ \mathfrak{G}^{-1}_{r,a}}\) pozwalająca na wyliczanie szukanego \(\displaystyle{ R}\). Mianowicie:
\(\displaystyle{ \mathfrak{G}^{-1}_{r,a}\left(\int_{r}^{R} \sqrt{\ln x+a} \dd x \right)=R }\)
szansy na odkrycie wzoru (lub przybliżenia) \(\displaystyle{ \mathfrak{G}^{-1}_{r,a}}\) można by szukać w
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_inversion_theoremRe: Całka funkcji złożonej - proszę o pomoc!
@a4karo: dziękuję za podpowiedź
@Janusz Tracz bardzo dziękuję za odpowiedź ale chciałbym się dowiedzieć jak można przybliżyć tę funkcję \(\displaystyle{ f_{a}}\) nie za pomocą funkcji liniowej ale chociaż kwadratowej bo w rzeczywistości ta funkcja jest dosyć "wygięta". Jak to zrobić w Mathematice?
Ewentualnie: jak utworzyć tę przybliżoną funkcję liniową, żeby w miarę dobrze odzwierciedlała zachowanie prawdziwej funkcji dla parametrów w poniższych zakresach?:
\(\displaystyle{ r=183}\)
\(\displaystyle{ R=(10;500)}\) - to jest to czego m in szukam, więc trudno to z góry określić, spodziewam się ze bedzie coś koło \(\displaystyle{ R= 100}\)
\(\displaystyle{ h=(0;4)}\) - najpewniej coś pośrodku
\(\displaystyle{ k=0,0002}\)
\(\displaystyle{ Q= \frac{ \pi k(H ^{2}-h ^{2} )}{\ln R-\ln r} }\)
Patrzyłem też co wyjdzie jak obliczę całkę w granicach \(\displaystyle{ (r,R)}\) z tymi "erfami" (bez przybliżania, postać analityczna jak na początku). Generalnie program ma duże problemy żeby to wyliczyć ale raz wyszło coś takiego:
input: \(\displaystyle{ \text{Integrate}\left[\sqrt{a+\log (x)},\{x,r,R\},\text{Assumptions}\to x>e^{-a}\right]}\)
output:
\(\displaystyle{ \text{ConditionalExpression}\left[\frac{1}{2} e^{-a} \left(\frac{\sqrt{a+\log (r)} \left(\sqrt{\pi }-2 \Gamma \left(\frac{3}{2},-a-\log (r)\right)\right)}{\sqrt{-a-\log (r)}}-\frac{\sqrt{a+\log (R)} \left(\sqrt{\pi }-2 \Gamma \left(\frac{3}{2},-a-\log (R)\right)\right)}{\sqrt{-a-\log (R)}}\right),\left(\Re\left(\frac{a+\log (r)}{\log (r)-\log (R)}\right)>1\lor \Re\left(\frac{a+\log (r)}{\log (r)-\log (R)}\right)<0\lor \frac{a+\log (r)}{\log (r)-\log (R)}\notin \mathbb{R}\right)\land \left(\left(\Im(\log (r))\geq \Im(\log (R))\land \left(\Im(a)+\Im(\log (r))\leq 0\lor \Im(a)+\Im(\log (R))\geq 0\lor \Im(a) \left(\log \left(r^2\right)-\log \left(R^2\right)\right)+\Im(\log (R)) \left(2 \Re(a)+\log \left(r^2\right)\right)\leq \Im(\log (r)) \left(2 \Re(a)+\log \left(R^2\right)\right)\right)\right)\lor \left(\Im(\log (r))\leq \Im(\log (R))\land \left(\Im(a)+\Im(\log (r))\geq 0\lor \Im(a)+\Im(\log (R))\leq 0\lor \Im(a) \left(\log \left(r^2\right)-\log \left(R^2\right)\right)+\Im(\log (R)) \left(2 \Re(a)+\log \left(r^2\right)\right)\geq \Im(\log (r)) \left(2 \Re(a)+\log \left(R^2\right)\right)\right)\right)\right)\right]}\)
Czyli podaje coś w zbiorze liczb zespolonych. A jakby dookreślić, że wynik ma być w zbiorze liczb rzeczywistych? Wtedy chyba nie byłoby tych części rzeczywistych i urojonych - jak to zrobić w Mathematice? Może zamiast tego trzeba lepiej zdefiniować dziedzinę tego całkowanego wyrażenia (ze względu na te erfy?)?
No i nie oblicza do końca - "output" jest podany jako argument komendy (funkcji) ConditionalExpression - można coś poradzić żeby program policzył to do końca?
PS z tymi suriekcjami, iniekcjami i bijekcjami to sobie nie poradzę tak szybko, bo nigdy o czymś takim nie słyszałem, ale dziękuję
@Janusz Tracz bardzo dziękuję za odpowiedź ale chciałbym się dowiedzieć jak można przybliżyć tę funkcję \(\displaystyle{ f_{a}}\) nie za pomocą funkcji liniowej ale chociaż kwadratowej bo w rzeczywistości ta funkcja jest dosyć "wygięta". Jak to zrobić w Mathematice?
Ewentualnie: jak utworzyć tę przybliżoną funkcję liniową, żeby w miarę dobrze odzwierciedlała zachowanie prawdziwej funkcji dla parametrów w poniższych zakresach?:
\(\displaystyle{ r=183}\)
\(\displaystyle{ R=(10;500)}\) - to jest to czego m in szukam, więc trudno to z góry określić, spodziewam się ze bedzie coś koło \(\displaystyle{ R= 100}\)
\(\displaystyle{ h=(0;4)}\) - najpewniej coś pośrodku
\(\displaystyle{ k=0,0002}\)
\(\displaystyle{ Q= \frac{ \pi k(H ^{2}-h ^{2} )}{\ln R-\ln r} }\)
Patrzyłem też co wyjdzie jak obliczę całkę w granicach \(\displaystyle{ (r,R)}\) z tymi "erfami" (bez przybliżania, postać analityczna jak na początku). Generalnie program ma duże problemy żeby to wyliczyć ale raz wyszło coś takiego:
input: \(\displaystyle{ \text{Integrate}\left[\sqrt{a+\log (x)},\{x,r,R\},\text{Assumptions}\to x>e^{-a}\right]}\)
output:
\(\displaystyle{ \text{ConditionalExpression}\left[\frac{1}{2} e^{-a} \left(\frac{\sqrt{a+\log (r)} \left(\sqrt{\pi }-2 \Gamma \left(\frac{3}{2},-a-\log (r)\right)\right)}{\sqrt{-a-\log (r)}}-\frac{\sqrt{a+\log (R)} \left(\sqrt{\pi }-2 \Gamma \left(\frac{3}{2},-a-\log (R)\right)\right)}{\sqrt{-a-\log (R)}}\right),\left(\Re\left(\frac{a+\log (r)}{\log (r)-\log (R)}\right)>1\lor \Re\left(\frac{a+\log (r)}{\log (r)-\log (R)}\right)<0\lor \frac{a+\log (r)}{\log (r)-\log (R)}\notin \mathbb{R}\right)\land \left(\left(\Im(\log (r))\geq \Im(\log (R))\land \left(\Im(a)+\Im(\log (r))\leq 0\lor \Im(a)+\Im(\log (R))\geq 0\lor \Im(a) \left(\log \left(r^2\right)-\log \left(R^2\right)\right)+\Im(\log (R)) \left(2 \Re(a)+\log \left(r^2\right)\right)\leq \Im(\log (r)) \left(2 \Re(a)+\log \left(R^2\right)\right)\right)\right)\lor \left(\Im(\log (r))\leq \Im(\log (R))\land \left(\Im(a)+\Im(\log (r))\geq 0\lor \Im(a)+\Im(\log (R))\leq 0\lor \Im(a) \left(\log \left(r^2\right)-\log \left(R^2\right)\right)+\Im(\log (R)) \left(2 \Re(a)+\log \left(r^2\right)\right)\geq \Im(\log (r)) \left(2 \Re(a)+\log \left(R^2\right)\right)\right)\right)\right)\right]}\)
Czyli podaje coś w zbiorze liczb zespolonych. A jakby dookreślić, że wynik ma być w zbiorze liczb rzeczywistych? Wtedy chyba nie byłoby tych części rzeczywistych i urojonych - jak to zrobić w Mathematice? Może zamiast tego trzeba lepiej zdefiniować dziedzinę tego całkowanego wyrażenia (ze względu na te erfy?)?
No i nie oblicza do końca - "output" jest podany jako argument komendy (funkcji) ConditionalExpression - można coś poradzić żeby program policzył to do końca?
PS z tymi suriekcjami, iniekcjami i bijekcjami to sobie nie poradzę tak szybko, bo nigdy o czymś takim nie słyszałem, ale dziękuję
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2020, o 09:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Całka funkcji złożonej - proszę o pomoc!
Ogólnie korzysta się z
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_TayloraA co to znaczy w miarę dobrze? Podana przeze mnie funkcja według mnie właśnie całkiem nieźle sobie radziła dla tak dużych \(\displaystyle{ r,R}\) choć to znów jest moje subiektywne odczucie. Jeśli uważasz, że przybliżenie było za słabe mogę jedynie polecić dalej rozwijać w szereg lub po prostu całkować numerycznie dla każdego przypadku osobno i zaprogramować problem.
Moim zdaniem wszystkie tego typu rozważania są skazane na niepowodzenie. Nie spodziewał bym się, że jakieś drobne zmiany w dziedzinie czy ogólnie definicji zmiennych miały by w magiczny sposób na tyle to uprościć by wyszło coś sensownego. Po prostu całka jest nieelementarna i trzeba z tym żyć. Po to powstały metody numeryczne. Skoro korzystasz z programów komputerowych oraz dopuszczasz wynik przybliżony to nie widzę problemy abyś po prostu zdefiniował sobie nową funkcję w programie:Czyli podaje coś w zbiorze liczb zespolonych. A jakby dookreślić, że wynik ma być w zbiorze liczb rzeczywistych? Wtedy chyba nie byłoby tych części rzeczywistych i urojonych - jak to zrobić w Mathematice? Może zamiast tego trzeba lepiej zdefiniować dziedzinę tego całkowanego wyrażenia (ze względu na te erfy?)?
No i nie oblicza do końca - "output" jest podany jako argument komendy (funkcji) ConditionalExpression - można coś poradzić żeby program policzył to do końca?
\(\displaystyle{ \mathfrak{G}_{r,a}\left( R\right)= \int_{r}^{R} \sqrt{\ln x+a} \dd x}\)
i gdy będziesz chciał coś policzyć po prostu napiszesz \(\displaystyle{ \mathfrak{G}_{r,a}\left( R\right)}\). A program zrobi resztę.