Zbieżność całki

[Rokush]

Hej, mam takie zadanie:
W zależności od parametrów rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b }\) zbadać zbieżność całki:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{x ^{a}\ln ^{b} ( \frac{1}{x} ) } }\).
I na początek wpisywałem w wolframie tą całkę dla różnych liczb i wyszło mi, że \(\displaystyle{ a<0 }\) oraz \(\displaystyle{ b \in <0,1) }\). Co do tego \(\displaystyle{ b }\) nie jestem za bardzo pewien czy 0 jest rzeczywiście dolnym ograniczeniem bo dla ujemnych liczb b wolfram po prostu wywalał logarytm poza całkę nie bardzo wiem dlaczego. Starałem się więc zastosować jakieś oszacowanie na logarytm, że jeśli całka mniejsza od tej jest rozbieżna to ta też musi być rozbieżna ale nic nie wychodziło sensownego. Ma ktoś może jakiś pomysł jak to zrobić?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{a}\ln^{b}\left(\frac{1}{x}\right)} = \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{a}[-\ln^{b}(x)]} = }\)

Podstawienia: \(\displaystyle{ -\ln(x) = t, \ \ -\frac{1}{x}dx = dt }\)

\(\displaystyle{ = \int_{0}^{\infty} t^{-b} e^{-(1-a)t}dt =... }\)

Proszę przeprowadzić analizę zbieżności całki dla \(\displaystyle{ a\geq 1 }\) i \(\displaystyle{ b\in \RR }\) oraz dla \(\displaystyle{ a< 1 }\) i wtedy określić wartość \(\displaystyle{ b }\) dla której badana całka jest zbieżna.

[Rokush]

Dlaczego granica całkowania zmieniła nam się z 0 do 1 na 0 do nieskończoność?

[janusz47]

Z podstawienia i własności funkcji logarytmicznej.

[Rokush]

Ok już widzę, widzę też, że dla \(\displaystyle{ a<1 }\) mogę zastosować kryterium Dirichleta ale ta część z \(\displaystyle{ a>1 }\) mam rosnącą szybko exponente i staram się to przez części rozbić ale pozbyć się wtedy tego \(\displaystyle{ t^{-b} }\) po b krokach jedynie dla całkowitych b i nie bardzo widzę co mam zrobić z niecałkowitymi

[janusz47]

Dla \(\displaystyle{ a\geq 1 }\) całka jest rozbieżna dla każdego \(\displaystyle{ b\in \RR. }\)