Podstawienie wykonane i co dalej?

[Perunn]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{5 x^{2} }{ \sqrt[3]{x^{3} + 3 } } \dd x = \left| t = x ^{3}, dt = 3x ^{2} \dd x,
x ^{2} \dd x = \frac{1}{3}dt \right| = \frac{5}{3} \int_{}^{} \frac{dt}{ \sqrt[3]{t+3} } = }\)

Jak teraz to rozmontować?

PS. Jak w lateksie zrobić, żeby pomiędzy pionowymi krechami --> \(\displaystyle{ \left| \right| }\) wpisywać kolejne podstawienia linijka pod linijką a nie przecinkami?

[AiDi]

Lepiej by było podstawić na początku \(\displaystyle{ t=x^3+3}\), wtedy byś wiedział co dalej. A jak chcesz kontynuować to co masz, to podstaw \(\displaystyle{ w=t+3}\).

[Perunn]

Podstawiłem tak, jak zaproponowałeś i faktycznie wyszło.

Swoją drogą to tak można sobie wielokrotne podstawienia robić jak tutaj \(\displaystyle{ w = t + 3}\)? Nawet nie wiedziałem XD

Dzięki za pomoc.

[janusz47]

Podstawieniami:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^3 + 3} = t }\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^3 + 3} = t \mid^{3}}\)

\(\displaystyle{ x^3 + 3 = t^3 }\)

\(\displaystyle{ 3x^2 dx = 3t^2dt }\)

\(\displaystyle{ x^2 dx = t^2 dt, }\)

unikamy ułamkowych wykładników potęg.

\(\displaystyle{ \int \frac{5x^2}{\sqrt[3]{x^3 +3}} dx = \int \frac{5t^2}{t}dt = 5\int t dt =... }\)

Dodano po 2 godzinach 41 minutach 2 sekundach:

Wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek nieoznaczonych

\(\displaystyle{ \int f[q(x)] q^{'}(x) dx = F[q(x)] + C \ \ (1) }\)

gdzie

\(\displaystyle{ F - }\) jest funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f. }\)

W naszym przypadku

\(\displaystyle{ \int \frac{ 5x^2}{\sqrt[3]{x^3 + 3}}dx = \frac{5}{3} \int f(q(x))q'(x)dx , \ \ f(u) = \frac{1}{\sqrt[3]{u}}, \ \ q(x) = x^3 +3, \ \ F(u) = \frac{3}{2}u^{\frac{2}{3}}\ \ (2) }\)

Na podstawie \(\displaystyle{ (1), \ \ (2)}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{ 5x^2}{\sqrt[3]{x^3 + 3}}dx = \frac{5}{3}\cdot \frac{3}{2} (x^3 +3)^{\frac{2}{3}} + C = \frac{5}{2}\sqrt[3]{(x^3 +3)^2} + C. }\)