Obliczyć objętość bryły U: \(\displaystyle{ z \ge \sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2+z^2 \le 4z }\)
Więc podeszłam do tego tak, zapisałam \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2} \le z \le 2+ \sqrt{4-x^2-y^2} }\)
I mam taką całkę \(\displaystyle{ | V|=\iint_{D} (2+\sqrt{4-x^2-y^2}- \sqrt{x^2+y^2}\space ) \dd x \dd y }\)
I teraz przejście na współrzędne biegunowe i tutaj właśnie jest problem, bo przy przyrównaniu \(\displaystyle{ 2+ \sqrt{4-x^2-y^2}= \sqrt{x^2+y^2}}\) najlepszena co udało mi się wyjść to \(\displaystyle{ x^2+y^2-2 \sqrt{x^2+y^2}=0 }\) i tutaj wstawiłam już współrzędne biegunowe dostając \(\displaystyle{ r=0 \vee r=2}\) jako, że \(\displaystyle{ r \ge 0}\) wzięłam \(\displaystyle{ r \in [0,2], \varphi \in [0,2\pi]}\) i wtedy podstawienie współrzędnych biegunowych do powyższej całki i liczonko. Czy do tej pory jest poprawnie?
Objętość bryły
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Objętość bryły
Jest ok. Bo rzut bryły \(\displaystyle{ U}\) to okrąg o środku w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\). To, że promień jest równy \(\displaystyle{ 2}\) wynika z kilku rzeczy:
\(\displaystyle{ 1)}\) czysto rachunkowego sprawdzenie które zrobiłaś,
\(\displaystyle{ 2)}\) faktu, iż kula ma promień \(\displaystyle{ 2}\) i jest podniesiona też o \(\displaystyle{ 2}\) nad płaszczyznę \(\displaystyle{ XY}\), a kąt rozwarcia stożka to \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\).
PS możesz też policzyć bez całek \(\displaystyle{ |V|=V_{\text{stożka } r=2,h=2 }+ \frac{1}{2}V_{\text{kuli } r=2} }\)
Dodano po 12 minutach 52 sekundach:
Albo od razu na sferyczne przechodzimy. Wtedy do policzenia jest:
\(\displaystyle{ |V|= \int_{0}^{2\pi} \int_{ \pi/4 }^{\pi/2} \int_{0}^{4\sin \psi} \left| \mathcal{J}\right| \dd r \dd \psi \dd \phi }\)
gdzie: \(\displaystyle{ \left| \mathcal{J}\right|=r^2\cos \psi}\).
\(\displaystyle{ 1)}\) czysto rachunkowego sprawdzenie które zrobiłaś,
\(\displaystyle{ 2)}\) faktu, iż kula ma promień \(\displaystyle{ 2}\) i jest podniesiona też o \(\displaystyle{ 2}\) nad płaszczyznę \(\displaystyle{ XY}\), a kąt rozwarcia stożka to \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\).
PS możesz też policzyć bez całek \(\displaystyle{ |V|=V_{\text{stożka } r=2,h=2 }+ \frac{1}{2}V_{\text{kuli } r=2} }\)
Dodano po 12 minutach 52 sekundach:
Albo od razu na sferyczne przechodzimy. Wtedy do policzenia jest:
\(\displaystyle{ |V|= \int_{0}^{2\pi} \int_{ \pi/4 }^{\pi/2} \int_{0}^{4\sin \psi} \left| \mathcal{J}\right| \dd r \dd \psi \dd \phi }\)
gdzie: \(\displaystyle{ \left| \mathcal{J}\right|=r^2\cos \psi}\).