Objetosc czesci wspolnej kuli i walca.

[chmiel123]

Dzien dobry,

Mam problem z zadaniem: Oblicz objętość części wspólnej kuli \(\displaystyle{ x^{2} + y ^{2} + z ^{2} \le R ^{2} }\) i walca \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} - Rx \le 0 }\)

Moim pomyslem bylo zastosowanie wspolrzednych walcowych:
\(\displaystyle{ x = rcos \alpha + \frac{R}{2} }\)
\(\displaystyle{ y = rsin \alpha }\)
\(\displaystyle{ z = z }\)
\(\displaystyle{ Jakobian = r }\)

Granice calkowania wyszly mi takie:
\(\displaystyle{ 0 \le r \le \frac{R}{2} }\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 2 \pi }\)
\(\displaystyle{ -\sqrt{ \frac{3}{4} R^{} - Rr - r ^{2} } \le z \le \sqrt{ \frac{3}{4} R^{} - Rr - r ^{2} } }\)

I nie wiem za bardzo, co mam dalej liczyc. Czy moglby ktos mi podpowiedziec?

Z gory dziekuje.
Łukasz

[kerajs]

Mam problem z zadaniem: Oblicz objętość części wspólnej kuli \(\displaystyle{ x^{2} + y ^{2} + z ^{2} \le R ^{2} }\) i walca \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} - Rx \le 0 }\)

Moim pomyslem bylo zastosowanie wspolrzednych walcowych:
\(\displaystyle{ x = rcos \alpha + \frac{R}{2} }\)
\(\displaystyle{ y = rsin \alpha }\)
\(\displaystyle{ z = z }\)
\(\displaystyle{ Jakobian = r }\)

Granice calkowania wyszly mi takie:
\(\displaystyle{ 0 \le r \le \frac{R}{2} }\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 2 \pi }\)
\(\displaystyle{ -\sqrt{ \frac{3}{4} R^{} - Rr - r ^{2} } \le z \le \sqrt{ \frac{3}{4} R^{} - Rr - r ^{2} } }\)

I nie wiem za bardzo, co mam dalej liczyc. Czy moglby ktos mi podpowiedziec?

wpierw poprawki:
\(\displaystyle{ -\sqrt{ \frac{3}{4} R^{2} - Rr \cos \alpha - r ^{2} } \le z \le \sqrt{ \frac{3}{4} R^{2} - Rr \cos \alpha - r ^{2} } }\)
Z powyższych masz :
\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{2 \pi } ( \int_{0}^{ \frac{R}{2} } ( \int_{-\sqrt{ \frac{3}{4} R^{2} - Rr \cos \alpha - r ^{2} }}^{\sqrt{ \frac{3}{4} R^{2} - Rr \cos \alpha - r ^{2} }} \dd z) r \dd r) \dd \alpha =...}\)

Przypuszczam że ciut łatwiej będzie liczyć w zwykłych współrzędnych walcowych
\(\displaystyle{ V= \int_{ \frac{- \pi }{2} }^{\frac{ \pi }{2} } ( \int_{0}^{ R\cos \alpha } ( \int_{-\sqrt{ R^2-r^2 }}^{\sqrt{ R^2-r^2 }} \dd z) r \dd r) \dd \alpha =...}\)