całka oznaczona

[ann_u]

Niech \(\displaystyle{ f: [0,1]\rightarrow \RR}\) taka ze \(\displaystyle{ \int^0_1 f(x)dx=}\) \(\displaystyle{ \int^0_1 xf(x)dx=1}\). Wykaż że \(\displaystyle{ \int^0_1 (f(x))^2 dx \ge4}\).

[Lider_M]

Rozumiem, że \(f\) jest np. ciągła również? I całki powinny chyba wyglądać \(\displaystyle{ \int_0^1}\) a nie \(\displaystyle{ \int_1^0}\)?

Na przestrzeni \(C([0,1])\) można wprowadzić iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \left<f,g\right>:=\int_0^1f(x)g(x)\mathrm{d}x}\). Funkcja \(f\) przedstawia się jako \(f(x)=a\cdot 1+b\cdot x+c\cdot g(x)\), gdzie funkcja \(g\) należy do dopełnienia ortogonalnego podprzestrzeni \(\mathrm{span}\{1,x\}\). Wartości parametrów \(a\) oraz \(b\) można wyliczyć z podanych warunków. Potem warto rozpisać \(\displaystyle{ \int_0^1f^2(x)\mathrm{d}x}\) i skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \int_0^1g^2(x)\mathrm{d}x\geqslant 0}\).

[Premislav]

Można również od razu z nierówności Schwarza:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\left(ax+b\right)^{2}\mbox{d}x \int_{0}^{1}f^{2}(x)\mbox{d}x\ge \left( \int_{0}^{1}(ax+b)\cdot f(x)\mbox{d}x\right)^{2}\\=(a+b)^{2}}\)
co po prostych przekształceniach i wyliczeniu
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(ax+b)^{2}\mbox{d}x=\frac{a^{2}}{3}+ab+b^{2}}\)
prowadzi do nierówności (dla \(\displaystyle{ a,b}\), które nie są jednocześnie zerami):
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}f^{2}(x)\mbox{d}x\ge \frac{(a+b)^{2}}{\frac{1}{3}a^{2}+ab+b^{2}}}\)

Pozostaje więc rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \frac{(a+b)^{2}}{\frac{1}{3}a^{2}+ab+b^{2}}=4\\a^{2}+2ab+b^{2}=\frac{4}{3}a^{2}+4ab+4b^{2}\\ \frac{1}{3}a^{2}+2ab+3b^{2}=0\\\frac{1}{3}(a+3b)^{2}=0}\)
Stąd widzimy, że musi być \(\displaystyle{ a=-3b}\), zaś \(\displaystyle{ b}\) możemy wybrać dowolne niezerowe, np. \(\displaystyle{ b=1}\).

Dostajemy więc
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}f^{2}(x)\mbox{d}x=\int_{0}^{1}\left(-3x+1\right)^{2}\mbox{d}x \int_{0}^{1}f^{2}(x)\mbox{d}x\ge \left( \int_{0}^{1}(-3x+1)\cdot f(x)\mbox{d}x\right)^{2}\\=4 }\)
c.n.d.