Dana jest rozmaitość \(\displaystyle{ M=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3} \ : \ 1<z= \sqrt{x^{2}+y^{2}}<2 \right\} }\), zorientowana następująco: w każdym punkcie wektor normalny, wyznaczający stronę dodatnią, ma składową z- ową ujemną.
Obliczyć całkę po \(\displaystyle{ M}\) z formy \(\displaystyle{ \omega = xdy \wedge dz -\left( y+2z\right)dz \wedge dx + dx \wedge dy }\).
Jak się w ogóle zabrać za tego typu zadanie?
Jak zrozumieć opis tej orientacji?
Całka z formy różniczkowej na rozmaitości
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedliska
- Podziękował: 19 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedliska
- Podziękował: 19 razy
Re: Całka z formy różniczkowej na rozmaitości
Co zaś, gdy definicja jest niejasna i nie została poprawnie wytłumaczona?
Dodano po 15 minutach 7 sekundach:
Powiem inaczej, chciałbym właśnie zrozumieć definicję na podstawie tego przykładu i proszę o pomoc w tym.
Dodano po 15 minutach 7 sekundach:
Powiem inaczej, chciałbym właśnie zrozumieć definicję na podstawie tego przykładu i proszę o pomoc w tym.
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedliska
- Podziękował: 19 razy
Re: Całka z formy różniczkowej na rozmaitości
Definicja [forma różniczkowa rzędu \(\displaystyle{ k}\) ] Niech \(\displaystyle{ U\subset \mathbb{R}^{n}}\) będzie zbiorem otwartym. Formą różniczkową rzędu \(\displaystyle{ k}\) i klasy \(\displaystyle{ C^{\infty}}\) na zbiorze \(\displaystyle{ U}\), nazywamy przekształcenie
\[ \omega\colon U\times \big(\mathbb{R}^{n}\big)^{k}\to \mathbb{R} \]
klasy \(\displaystyle{ C^{\infty}}\), takie, że dla każdego punktu \(\displaystyle{ x \in U}\) przekształcenie
\[ \begin{equation} \label{o x} \big(\mathbb{R}^{n}\big)^{k}\ni (x_{i_{1}},\ldots,x_{i_{k}})\longmapsto \omega(x;x_{i_{1}},\ldots,x_{i_{k}})\in \mathbb{R} \end{equation} \]
jest \(\displaystyle{ k}\)-formą antysymetryczną, tzn. elementem przestrzeni \(\displaystyle{ \Lambda^{k}\big(\mathbb{R}^{n}\big)^{k}}\) .
\[ \omega\colon U\times \big(\mathbb{R}^{n}\big)^{k}\to \mathbb{R} \]
klasy \(\displaystyle{ C^{\infty}}\), takie, że dla każdego punktu \(\displaystyle{ x \in U}\) przekształcenie
\[ \begin{equation} \label{o x} \big(\mathbb{R}^{n}\big)^{k}\ni (x_{i_{1}},\ldots,x_{i_{k}})\longmapsto \omega(x;x_{i_{1}},\ldots,x_{i_{k}})\in \mathbb{R} \end{equation} \]
jest \(\displaystyle{ k}\)-formą antysymetryczną, tzn. elementem przestrzeni \(\displaystyle{ \Lambda^{k}\big(\mathbb{R}^{n}\big)^{k}}\) .
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Całka z formy różniczkowej na rozmaitości
Jeszcze raz: do obliczenia jest całka z formy różniczkowej po rozmaitości. Skorzystaj więc z definicji całki z formy różniczkowej po rozmaitości, a jeśli jej nie rozumiesz - przytocz ją i opisz, co jest w niej niejasnego.