Dane jest pole sił \(\displaystyle{ F=(P,Q,R), P(x,y,z)=yz, Q(x,y,z)=xz+z, R(x,y,z)=xy+y+2z}\).
Obliczyć pracę jaką trzeba wykonać pokonując siły pola wzdłuż łuku \(\displaystyle{ AB}\) od punktu \(\displaystyle{ A(0,0,1)}\) do punktu \(\displaystyle{ B(1,1,2)}\).
Jak to zrobić?
Dane jest pole sił
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Dane jest pole sił
\(\displaystyle{ (1)}\) Dowodzimy, że pole wektorowe \(\displaystyle{ \mathbf{F}=\left[ P,Q,R\right] }\) jest potencjalne. Czyli praca w tym polu nie zależy od drogi a jedynie po jej początku i końca. Aby to udowodnić najwygodniej jest tu policzyć rotację \(\displaystyle{ \nabla \times \mathbf{F} }\). Powinna się zerować wszędzie.
\(\displaystyle{ (2)}\) Skoro pole jest potencjalne to ma potencjał będący funkcją skalarną \(\displaystyle{ \phi:\RR^3 \rightarrow \RR}\) takąż, że \(\displaystyle{ \text{grad} \left( \phi\right) = \mathbf{F}}\). Wyznacz \(\displaystyle{ \phi}\).
\(\displaystyle{ (3)}\) Podkładamy pod wzór na pracę w polu potencjalnym \(\displaystyle{ \int_{\gamma } \mathbf{F} \circ \vec{\dd s} = \phi(B)-\phi(A) }\)
\(\displaystyle{ (2)}\) Skoro pole jest potencjalne to ma potencjał będący funkcją skalarną \(\displaystyle{ \phi:\RR^3 \rightarrow \RR}\) takąż, że \(\displaystyle{ \text{grad} \left( \phi\right) = \mathbf{F}}\). Wyznacz \(\displaystyle{ \phi}\).
\(\displaystyle{ (3)}\) Podkładamy pod wzór na pracę w polu potencjalnym \(\displaystyle{ \int_{\gamma } \mathbf{F} \circ \vec{\dd s} = \phi(B)-\phi(A) }\)