Niezmienniczość całkowania oznaczonego przesuniętej funkcji

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Bourder
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 19 mar 2016, o 12:38
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 10 razy

Niezmienniczość całkowania oznaczonego przesuniętej funkcji

Post autor: Bourder »

Wiem, że \begin{align*}
\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a-k}^{b-k}f(x+k)dx.
\end{align*}
Widziałem gdzieś, że podstawienie \(\displaystyle{ x:=x-a }\) daje tożsamość
\begin{align*}
\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x-a)dx.
\end{align*}

Ale dlaczego? Jakoś mi to umyka.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Niezmienniczość całkowania oznaczonego przesuniętej funkcji

Post autor: Janusz Tracz »

Bourder pisze: 14 cze 2020, o 23:03 Widziałem gdzieś, że podstawienie \(\displaystyle{ x:=x-a }\) daje tożsamość
\begin{align*}
\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x-a)dx.
\end{align*}
To podstawienie nie daje takiej tożsamości, która swoją drogą jest nieprawdziwa widać to kładąc \(\displaystyle{ f=\chi_{[0,a]}}\).
Bourder
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 19 mar 2016, o 12:38
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 10 razy

Re: Niezmienniczość całkowania oznaczonego przesuniętej funkcji

Post autor: Bourder »

Chodziło o tożsamość
\begin{align*}
\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(a-x)dx
\end{align*}
jakiekolwiek miało być zamierzone podstawienie - w każdym razie translacja.
Choć nadal średnio w to wierzę.

Ok, chyba mam: podstawiając \(\displaystyle{ x=a-x}\) dostajemy
\begin{align*}
\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{a}^{0}f(a-x)(-dx)=\int_{0}^{a}f(a-x)dx.
\end{align*}
Ostatnio zmieniony 14 cze 2020, o 23:25 przez Bourder, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Niezmienniczość całkowania oznaczonego przesuniętej funkcji

Post autor: Janusz Tracz »

w każdym razie translacja
No teraz to już nie translacja. Raczej symetria i translacja. Podstaw do całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{a}f(x) \dd x }\) nową zmienną \(\displaystyle{ x=a-y}\) wtedy \(\displaystyle{ \dd x =- \dd y}\) zatem:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{a}f(x) \dd x = - \int_{a}^{0} f(a-y) \dd y = \int_{0}^{a} f(a-y) \dd y }\)
czyli teza.
Bourder
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 19 mar 2016, o 12:38
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 10 razy

Re: Niezmienniczość całkowania oznaczonego przesuniętej funkcji

Post autor: Bourder »

Faktycznie, tam jest też symetria. Dzięki.
ODPOWIEDZ