Wiem, że \begin{align*}
\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a-k}^{b-k}f(x+k)dx.
\end{align*}
Widziałem gdzieś, że podstawienie \(\displaystyle{ x:=x-a }\) daje tożsamość
\begin{align*}
\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x-a)dx.
\end{align*}
Ale dlaczego? Jakoś mi to umyka.
Niezmienniczość całkowania oznaczonego przesuniętej funkcji
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
Re: Niezmienniczość całkowania oznaczonego przesuniętej funkcji
To podstawienie nie daje takiej tożsamości, która swoją drogą jest nieprawdziwa widać to kładąc \(\displaystyle{ f=\chi_{[0,a]}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 19 mar 2016, o 12:38
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 10 razy
Re: Niezmienniczość całkowania oznaczonego przesuniętej funkcji
Chodziło o tożsamość
\begin{align*}
\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(a-x)dx
\end{align*}
jakiekolwiek miało być zamierzone podstawienie - w każdym razie translacja.
Choć nadal średnio w to wierzę.
Ok, chyba mam: podstawiając \(\displaystyle{ x=a-x}\) dostajemy
\begin{align*}
\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{a}^{0}f(a-x)(-dx)=\int_{0}^{a}f(a-x)dx.
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(a-x)dx
\end{align*}
jakiekolwiek miało być zamierzone podstawienie - w każdym razie translacja.
Choć nadal średnio w to wierzę.
Ok, chyba mam: podstawiając \(\displaystyle{ x=a-x}\) dostajemy
\begin{align*}
\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{a}^{0}f(a-x)(-dx)=\int_{0}^{a}f(a-x)dx.
\end{align*}
Ostatnio zmieniony 14 cze 2020, o 23:25 przez Bourder, łącznie zmieniany 1 raz.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
Re: Niezmienniczość całkowania oznaczonego przesuniętej funkcji
No teraz to już nie translacja. Raczej symetria i translacja. Podstaw do całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{a}f(x) \dd x }\) nową zmienną \(\displaystyle{ x=a-y}\) wtedy \(\displaystyle{ \dd x =- \dd y}\) zatem:w każdym razie translacja
\(\displaystyle{ \int_{0}^{a}f(x) \dd x = - \int_{a}^{0} f(a-y) \dd y = \int_{0}^{a} f(a-y) \dd y }\)
czyli teza.