Całka podwójna równa 0

[Bozydar12]

Załóżmy, że mam do policzenia całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} x^2y+x^3dxdy }\) po obszarze \(\displaystyle{ |x|-1 \le y \le 1-|x|}\). Obliczając całkę, rozdzielam ją na dwie, wychodzi 0. Jak interpretować taki wynik w przypadku całek wielu zmiennych?. Dla całki jednej zmiennej było powiedziane, że jeżeli \(\displaystyle{ \int_{-a}^{a} f(x)dx }\) i \(\displaystyle{ f(x)}\) jest nieparzyste, to wynik to zero. Jak przyjąć to dla całki wielu zmiennych, gdzie przedział też wyszedł symetryczny.

[Janusz Tracz]

Ogólne interpretacja nawiązująca do pola (gdy mowa o całkach jednaj zmiennej) lub objętości (gdy mowa o całkach dwóch zmiennych) lub miary jest taka, że tyle samo objętości leży pod płaszczyzną \(\displaystyle{ XY}\) co nad płaszczyzną. Podobnie \(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \cos x \dd x =0 }\) i nie ma to nic wspólnego z symetrią względem zera przedziału całkowania czy z nieparzystością funkcji podcałkowej (bo nie ma ani tego ani tego). Podobnie w całkach podwójnych gdy objętość podzieli się na pół to całka zeruje się. Gdyby jednak próbować doszukać się podobieństw Twojego przykładu do przykładu z symetrią przedziału i nieparzystością to proponuję zapisać całkę jako sumę całek:

\(\displaystyle{ \iint_{D} x^2y+x^3 \dd x \dd y =\iint_{D} x^2y \dd x \dd y +\iint_{D} x^3 \dd x \dd y }\)

i zauważyć, że obszar \(\displaystyle{ D}\) jest symetryczny względem osi \(\displaystyle{ x}\) oraz względem osi \(\displaystyle{ y}\). Pierwsza z całek zeruje się dlatego bo obszar symetryczny jest względem \(\displaystyle{ x}\) a funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem zmiennej \(\displaystyle{ y}\). I odwrotnie z drugą całką.

[a4karo]

Ogólne interpretacja nawiązująca do pola (gdy mowa o całkach jednaj zmiennej) lub objętości (gdy mowa o całkach dwóch zmiennych) lub miary jest taka, że tyle samo objętości leży pod płaszczyzną \(\displaystyle{ XY}\) co nad płaszczyzną. Podobnie \(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi } \cos x \dd x =0 }\) i nie ma to nic wspólnego z symetrią względem zera przedziału całkowania czy z nieparzystością funkcji podcałkowej (bo nie ma ani tego ani tego).

Akurat to ma bardzo wiele wspólnego z symetrią, tyle że względem punktów `\pi/2` i `{3\pi}/2` (podziel całkę na `\int_0^{\pi}+\int_{\pi}^{2\pi}`)

Podobnie w całkach podwójnych gdy objętość podzieli się na pół to całka zeruje się. Gdyby jednak próbować doszukać się podobieństw Twojego przykładu do przykładu z symetrią przedziału i nieparzystością to proponuję zapisać całkę jako sumę całek:

\(\displaystyle{ \iint_{D} x^2y+x^3 \dd x \dd y =\iint_{D} x^2y \dd x \dd y +\iint_{D} x^3 \dd x \dd y }\)

i zauważyć, że obszar \(\displaystyle{ D}\) jest symetryczny względem osi \(\displaystyle{ x}\) oraz względem osi \(\displaystyle{ y}\). Pierwsza z całek zeruje się dlatego bo obszar symetryczny jest względem \(\displaystyle{ x}\) a funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem zmiennej \(\displaystyle{ y}\). I odwrotnie z drugą całką.

Ogólnie jest tak, że jeżeli obszar `D` jest symetryczny względem początku układu, a funkcja podcałkowa jest nieparzysta (czyli `f(x,y)=-f(-x,-y)`). Dowód idzie przez zamiane zmiennych \(\displaystyle{ x'=-x, y'=-y}\). Wtedy jakobian jest równy `1` i
\(\displaystyle{ \iint_Df(x,y)dxdy=\iint_{D'} f(x',y')|J|dx'dy'=-\iint_Df(x,y)dxdy}\)

[Bozydar12]

Właśnie ze zinterpretowaniem nieparzystości funkcji dla dwóch zmiennych miałem problem, czy nie powinno być przypadkiem \(\displaystyle{ f(-x,-y)=-f(x,y)}\)