Prośba o pomoc w ocenie poprawności rozwiązania

[Szustarol]

Witam.
Mam obliczyć objętość bryły zadanej równaniami:
\(\displaystyle{ z=0}\)
\(\displaystyle{ z=x^2+y^2}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2-y=0}\)
Pierwotnie chciałem wykorzystać współrzędne sferyczne, ale wydaje mi się, że nie jest możliwe ich użycie w tym
przypadku (trudność z wyznaczeniem szerokośći geogr.), więc przeszedłem na współrzędne walcowe:
\(\displaystyle{ z=z}\)
\(\displaystyle{ x=r \cos \theta}\)
\(\displaystyle{ y = r \sin \theta}\)
Moduł jakobianu tego przejścia to \(\displaystyle{ r}\)
Podstawiając dane do drugiego równania otrzymuję:
\(\displaystyle{ z = r^2 \rightarrow r \in \left[ 0, r^2 \right] }\)
Po narysowaniu zauważyłem, że obszar rzutu na OXY to w zasadzie okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0, {1 \over 2})}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1 \over 2 }\)
Wynika z tego, że kąt \(\displaystyle{ \theta \in \left[ 0, \pi \right]}\)
Po podstawieniu do równania trzeciego otrzymuję:
\(\displaystyle{ r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta - r\sin \theta = 0 }\)
\(\displaystyle{ r = \sin \theta \rightarrow r \in \left[ 0, \sin \theta \right] }\)

Czyli finalnie moja objętość przedstawia się wzorem:
\(\displaystyle{ V = \int_{0}^{\pi} \dd \theta \int_{0}^{\sin \theta} \dd r \int_{0}^{r^2} r \cdot \dd z }\),
co po całkowaniu daje wynik \(\displaystyle{ V = {3 \over 32} \pi }\)
Czy jest to poprawny wynik? Na pierwszy rzut oka wydaje mi się on nieco za mały...

[Gosda]

Zauważ, że ostatnie równanie opisuje okrąg: \(x^2 + (y - 1/2)^2 = 1/4\), o środku w punkcie \((0, 1/2)\) oraz promieniu \(1/2\). Zatem objętość policzy Wolfram:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B1%2C+%7Bx%2C+-1%2F2%2C+1%2F2%7D%2C+%7By%2C+-Sqrt%5B1%2F4-x%5E2%5D%2CSqrt%5B1%2F4-x%5E2%5D%7D%2C+%7Bz%2C+0%2C+x%5E2+%2B+y%5E2%7D%5D

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{32}}\)

[Szustarol]

Wydaje mi się, że w wolframie źle ustaliłeś granicę całkowania po y- brakuje stałej \(\displaystyle{ 1 \over 2 }\), a po jej dodaniu wynik wydaje się prawidłowy, dzięki!