Całka 1-formy różniczkowej

[TorrhenMathMeth]

Niech \(\displaystyle{ \phi : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} }\) będzie taką funkcją klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\), że \(\displaystyle{ \phi \left( 0\right)=0 }\) i \(\displaystyle{ \phi \left( 1\right)=1 }\). Rozważamy jednowymiarową rozmaitość z brzegiem
\(\displaystyle{ M = \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2} : \ 0 \le x \le 1, \ y=\phi\left( x\right) \right\} }\). Definiujemy na niej 1-formę różniczkową \(\displaystyle{ w\left( x,y\right)=ydx+xdy }\). Wyznaczyć wartość całki \(\displaystyle{ \int_{M}^{} w}\) i ustalić dla której funkcji \(\displaystyle{ \phi}\) spełniającej warunki zadania całka ta przyjmuje największą wartość.

Oto co udało mi się ustalić:
\(\displaystyle{ M}\) to oczywiście wykres \(\displaystyle{ \phi}\), zatem jej parametryzacja to \(\displaystyle{ \gamma \left( t\right) =\left( t, \phi \left( t\right) \right) }\). Czyli całkę z zadania liczymy w następujący sposób: jeśli \(\displaystyle{ f_{1}\left( x,y\right)=y, \ f_{2}\left( x,y\right)=x }\), to \(\displaystyle{ \int_{M}^{} w = \int_{0}^{1} f_{1}\left( \lambda\left( t\right) \right) \cdot \lambda_{1}\left( t\right) dt + \int_{0}^{1} f_{2}\left( \lambda\left( t\right) \right) \cdot \lambda_{2}\left( t\right)dt }\)
\(\displaystyle{ = \int_{0}^{1} \phi \left( t\right)dt + \int_{0}^{1} \phi \left( t\right) \cdot \phi ' \left( t\right) dt}\)

Nie do końca wychodzi mi poradzenie sobie z tym dalej. Nie bardzo wyszło mi uproszczenie jakość tego wyrażenia. Doszedłem do czegoś w tym stylu: \(\displaystyle{ 1+ \int_{0}^{1} \phi ' \left( t\right) \cdot \left( 1- \phi \left( t\right) \right) dt }\), ale umówmy się, nie wygląda to dużo lepiej. Nie wiem też jak odpowiedzieć na pytanie dla jakiej funkcji ta całka będzie największa.

[Dasio11]

Jeśli możesz użyć twierdzenia Stokesa, to tak jest najprościej.

Niewiele trudniej jest policzyć z definicji, ale nie rozumiem Twojego sposobu liczenia, a w szczególności - niezdefiniowanych \(\displaystyle{ \lambda, \lambda_1}\) i \(\displaystyle{ \lambda_2}\). Tak czy owak, ostatecznie powinno wyjść

\(\displaystyle{ \int \limits_0^1 \phi(t) + t \phi'(t) \, \dd t}\),

co powinno Ci się skojarzyć z pochodną iloczynu.

[TorrhenMathMeth]

\(\displaystyle{ \lambda}\) oczywiście miało być \(\displaystyle{ \gamma}\). Pomyliłem się w trakcie pisania. Rzeczywiście, postać \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \phi (t) + t\cdot \phi ' (t)}\) wygląda dość ładnie.

Dodano po 30 minutach 2 sekundach:
Okej, pomyliłem się w liczeniu całki. Rzeczywiście wychodzi \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \phi \left( t\right) + t \cdot \phi ' \left( t\right) }\). Dalej jak się liczy to wychodzi:
\(\displaystyle{ \left[ t \cdot \phi\left( t\right) \right]_{0}^{1} = 1-0=1 }\). Z tym, że w zadaniu jest pytanie dla jakich funkcji całka przyjmuje największą wartość. Ale wartość całki nie zależy od funkcji \(\displaystyle{ \phi}\), o ile tylko spełnia warunki zadania. Czy coś zrobiłem w takim razie źle, czy odpowiedź jest po prostu trywialna?

[Dasio11]

Wszystko jest dobrze - w tym zadaniu wartość całki wynosi \(\displaystyle{ 1}\) dla każdej funkcji \(\displaystyle{ \phi}\).

[a4karo]

Najprościej hyba pokazać, że całka z tej formy nie zależy od drogi całkowania i policzyć całkę po odcinku `(0,0)-(1,0)`

[Dasio11]

Prościej niż z twierdzenia Stokesa? Wątpię.