Całka potrójna

[lola456]

Witam, mam do policzenia całkę potrójną:
\(\displaystyle{ \iiint_{}^{} (x^2 + y^2)dv}\)
gdzie \(\displaystyle{ a^2 \le x^2 + y^2 + z^2 \le b^2 }\)
\(\displaystyle{ z \ge 0}\)

policzyłam, że \(\displaystyle{ z \ge \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\) i \(\displaystyle{ z \le \sqrt{b^2 - x^2 - y^2}}\)
I teraz mam pytanie, czy moje obliczenia mogę wstawić do całki jako:
\(\displaystyle{ \iiint_{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}^{\sqrt{b^2 - x^2 - y^2}} (x^2 + y^2) dv}\)

Jeżeli tak to jak mam sobie wyznaczyć dalej obszar \(\displaystyle{ D}\) ?
Narysowałam sobie te funkcje \(\displaystyle{ z}\) i są to połówki sfer, czy obszar \(\displaystyle{ D}\) to będzie\(\displaystyle{ K((0,0), b)}\) ?

Bardzo prosiłabym o pomoc, bo zatrzymałam się na tym przykładzie

[pkrwczn]

Lepiej posłużyć się współrzędnymi sferycznymi. W kartezjańskich bardzo dużo liczenia ale też się da, można wziąć za powierzchnie półkulę o promieniu b, potem a i odjąć. Ale dużo łatwiej w sferycznych.

[lola456]

Lepiej posłużyć się współrzędnymi sferycznymi. W kartezjańskich bardzo dużo liczenia ale też się da, można wziąć za powierzchnie półkulę o promieniu b, potem a i odjąć. Ale dużo łatwiej w sferycznych.

A w takim razie w jaki sposób wyznaczyć sobie przedziały, do których należy \(\displaystyle{ r }\) oraz kąty ze współrzędnych sferycznych?
Czy można to jakoś obliczyć, czy trzeba odczytać z rysunku?

[pkrwczn]

Między większą sferą a mniejszą: \(\displaystyle{ a<r<b}\).
Wokół osi Oz: \(\displaystyle{ 0<\phi<2\pi}\).
I północna półkula: \(\displaystyle{ 0<\theta< \frac{\pi}{2}}\).

Theta to odległość kątowa od pozytywnej osi Oz, czyli element \(\displaystyle{ dv=r^2 \sin\theta \dd r \dd \theta \dd \phi}\). Z rysunku.

[lola456]

Między większą sferą a mniejszą: \(\displaystyle{ a<r<b}\).
Wokół osi Oz: \(\displaystyle{ 0<\phi<2\pi}\).
I północna półkula: \(\displaystyle{ 0<\theta< \frac{\pi}{2}}\).

Theta to odległość kątowa od pozytywnej osi Oz, czyli element \(\displaystyle{ dv=r^2 \sin\theta \dd r \dd \theta \dd \phi}\). Z rysunku.

Dziękuję bardzo za pomoc.

[a4karo]

A nie prościej obliczyć całkę po dużej półkuli i odjąć całkę po mniejszej?