Moment bezwładności walca względem osi Oz

[dddsosa]

Zadanie polega na obliczeniu momentu bezwładności względem osi Oz dla bryły ograniczonej powierzchniami \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=-2y, z=0, z=2, }\) gęstość w danym punkcie jest równa kwadratowi odległości tego punktu od płaszczyzny xOy

Myślałem, żeby zamiast walca \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=-2y}\) wziąć walec \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=2y}\) to zapisanie tej całki we współrzędnych walcowych będzie dużo prostsze, a moment bezwładności względem osi Oz powinien wyjść ten sam.

Czy prawdą jest to, że te dwa walce ograniczone płaszczyznami \(\displaystyle{ z=0, z=2}\) mają ten sam moment bezwładności względem osi Oz?

[pkrwczn]

Tak, to ten sam walec obracający się wokół osi Oz. Rozpisując jako równanie okręgu wygląda to tak \(\displaystyle{ x^{2}+(y \pm 1)^{2}=1}\). Albo takie równanie to też jednakowy walec \(\displaystyle{ (x\pm 1)^{2}+y^{2}=1}\) ale to w niczym nie pomaga. Lepiej ten walec umieścić w środku \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\) i zastosować Tw. Steinera a sam walec zrzutować na płaszczyznę xOy i traktować jako koło. Gęstość powierzchniowa tego koła wynika z całki gęstości objętościowej wzdłuż Oz czyli skoro \(\displaystyle{ \rho = z^{2}}\) to gęstość powierzchniowa koła \(\displaystyle{ \sigma= \int_{0}^{2}z^{2} \dd z = \ const. }\)

[korki_fizyka]

Całki wielokrotne i krzywoliniowe - pełne rozwiązania