Witam,
chcialem symulować w grze komputerowej linę za pomocą f. kwadratowej w taki sposób,
że punktem zaczepienia liny jest jeden z punktów na paraboli, a jej końcówką jest jej minimum, bądź
też jakiś punkt do niego zbliżony. Generalnie chodzi o to, że funkcja kwadratowa o dużym wpółczynniku nachylenia ładnie
"przybliża" bujającą się lekko linę.
Pojawia się jednak pewien problem - jeśli długość liny jest zdefiniowana jako odległość między punktem zaczepienia
a punktem końca paraboli, to niestety rzeczywista długość jest inna (bo oczywiście parabola jest nieco dłuższa niż prosta).
Postanowiłem to rozwiązać matematycznie w taki sposób, że jeśli lina jest zaczepiona w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\), a kończy się w punkcie \(\displaystyle{ x_1}\) to jej długość jest dana:
\(\displaystyle{ \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx }\), więc jeśli chcę, aby moja lina miała stałą długość powiedzmy l, to wystarczy rozwiązać
równanie dla \(\displaystyle{ x_1}\), czyli:
\(\displaystyle{ \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1+[f'(t)]^2}dt = l}\)
Można oczywiście policzyć tą całkę, podstawić \(\displaystyle{ x_0 i x_1}\), przenieść \(\displaystyle{ x_0}\) na drugą stronę i rozwiązać to równanie,
najprawdopodobniej numerycznie (ta całka wychodzi dość koszmarna, ciężko wyznaczyć \(\displaystyle{ x_1}\)).
Czy istnieje na to rozsądniejszy sposób?
A może najrozsądniej jest po prostu ustalić jakieś \(\displaystyle{ \delta x}\) i kroczyć z nim, póki wartość całki jest zbliżona do długości, bo to
rozwiązanie okaże się najbardziej "ekonomiczne"?
Jednocześnie przy tym zadaniu zaczęła mnie zastanawiać jedna rzecz odnośnie całek.
Mianowicie, dla wyrażenia podcałkowego istnieje funkcja pierwotna \(\displaystyle{ F(x)}\), można więc zapisać
\(\displaystyle{ F(x_1) - F(x_0) = l }\)
\(\displaystyle{ F(x_1) = l + F(x_0)}\)
A następnie zróżniczkować aby otrzymać (\(\displaystyle{ F(x_1)}\) to będzie jakaś stała):
\(\displaystyle{ \sqrt{1+[f'(x_1)]^2} = 0 }\) Co oczywiście nie ma sensu, bo kompletnie nie zależy od l
w takim razie jaki błąd logiczny popełniam przy tym wyprowadzenu?
Obliczanie długości łuku - jak dobrać element końcowy.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Obliczanie długości łuku - jak dobrać element końcowy.
Długość krzywej \(\displaystyle{ l}\) zależy od tego jaki jest punkt \(\displaystyle{ x_1}\), więc nie jest to wielkość stała względem \(\displaystyle{ x_1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 10 mar 2018, o 18:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Obliczanie długości łuku - jak dobrać element końcowy.
Nie do końca, bo tutaj punkt \(\displaystyle{ x_1}\) jest ustalony. Szukam tylko punktu \(\displaystyle{ x_2}\)