Obliczanie długości łuku - jak dobrać element końcowy.

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Szustarol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 10 mar 2018, o 18:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Obliczanie długości łuku - jak dobrać element końcowy.

Post autor: Szustarol »

Witam,
chcialem symulować w grze komputerowej linę za pomocą f. kwadratowej w taki sposób,
że punktem zaczepienia liny jest jeden z punktów na paraboli, a jej końcówką jest jej minimum, bądź
też jakiś punkt do niego zbliżony. Generalnie chodzi o to, że funkcja kwadratowa o dużym wpółczynniku nachylenia ładnie
"przybliża" bujającą się lekko linę.
Pojawia się jednak pewien problem - jeśli długość liny jest zdefiniowana jako odległość między punktem zaczepienia
a punktem końca paraboli, to niestety rzeczywista długość jest inna (bo oczywiście parabola jest nieco dłuższa niż prosta).

Postanowiłem to rozwiązać matematycznie w taki sposób, że jeśli lina jest zaczepiona w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\), a kończy się w punkcie \(\displaystyle{ x_1}\) to jej długość jest dana:
\(\displaystyle{ \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx }\), więc jeśli chcę, aby moja lina miała stałą długość powiedzmy l, to wystarczy rozwiązać
równanie dla \(\displaystyle{ x_1}\), czyli:
\(\displaystyle{ \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1+[f'(t)]^2}dt = l}\)

Można oczywiście policzyć tą całkę, podstawić \(\displaystyle{ x_0 i x_1}\), przenieść \(\displaystyle{ x_0}\) na drugą stronę i rozwiązać to równanie,
najprawdopodobniej numerycznie (ta całka wychodzi dość koszmarna, ciężko wyznaczyć \(\displaystyle{ x_1}\)).
Czy istnieje na to rozsądniejszy sposób?
A może najrozsądniej jest po prostu ustalić jakieś \(\displaystyle{ \delta x}\) i kroczyć z nim, póki wartość całki jest zbliżona do długości, bo to
rozwiązanie okaże się najbardziej "ekonomiczne"?


Jednocześnie przy tym zadaniu zaczęła mnie zastanawiać jedna rzecz odnośnie całek.
Mianowicie, dla wyrażenia podcałkowego istnieje funkcja pierwotna \(\displaystyle{ F(x)}\), można więc zapisać
\(\displaystyle{ F(x_1) - F(x_0) = l }\)
\(\displaystyle{ F(x_1) = l + F(x_0)}\)
A następnie zróżniczkować aby otrzymać (\(\displaystyle{ F(x_1)}\) to będzie jakaś stała):
\(\displaystyle{ \sqrt{1+[f'(x_1)]^2} = 0 }\) Co oczywiście nie ma sensu, bo kompletnie nie zależy od l
w takim razie jaki błąd logiczny popełniam przy tym wyprowadzenu?
Szustarol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 10 mar 2018, o 18:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Obliczanie długości łuku - jak dobrać element końcowy.

Post autor: Szustarol »

Podbijam posta
Szustarol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 10 mar 2018, o 18:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Obliczanie długości łuku - jak dobrać element końcowy.

Post autor: Szustarol »

Podbijam, głównie zależy mi na wyjaśnieniu, dlaczego takie całkowanie jest niepoprawne
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Re: Obliczanie długości łuku - jak dobrać element końcowy.

Post autor: MrCommando »

Długość krzywej \(\displaystyle{ l}\) zależy od tego jaki jest punkt \(\displaystyle{ x_1}\), więc nie jest to wielkość stała względem \(\displaystyle{ x_1}\).
Szustarol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 10 mar 2018, o 18:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Obliczanie długości łuku - jak dobrać element końcowy.

Post autor: Szustarol »

Nie do końca, bo tutaj punkt \(\displaystyle{ x_1}\) jest ustalony. Szukam tylko punktu \(\displaystyle{ x_2}\)
ODPOWIEDZ