Na przykładzie całki: \(\displaystyle{ \int (x^3 + 4x^2 - 5x + 7)e^x}\), omów metodę współczynników nieoznaczonych znajdowania całki ("metoda przewidywań").
Chodzi głównie o wytłumaczenie, jak w takim przypadku i na czym polega ta metoda (najlepiej krok po kroku).
Całka nieoznaczona.
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Re: Całka nieoznaczona.
By móc przewidywać wynik takiej całki, warto sobie przypomnieć, jak wyglądają całki dosyć ogólnej postaci:
\(\displaystyle{ \int x^n e^x\mbox{d}x}\)
gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest dowolną liczbą naturalną (włącznie z zerem). Polecam przeliczyć sobie takie całki dla konkretnych przypadków (\(\displaystyle{ n=0,1,2}\)).
Zrobione? W każdym przypadku wynikiem powinna być funkcja postaci \(\displaystyle{ P_n(x)e^x + C}\), gdzie \(\displaystyle{ P_n(x)}\) jest wielomianem tego samego stopnia co \(\displaystyle{ n}\). Dla \(\displaystyle{ n=0}\) mieliśmy:
\(\displaystyle{ \int e^x\mbox{d}x = P_0(x)e^x + C, \quad P_0(x) = 1}\),
\(\displaystyle{ \int x e^x\mbox{d}x = P_1(x)e^x + C, \quad P_1(x) = x - 1}\),
\(\displaystyle{ \int x^2 e^x\mbox{d}x = P_2(x)e^x + C, \quad P_1(x) = x^2 - 2x + 2}\).
Ponieważ całka sumy jest sumą całek, a suma wielomianów jest wielomianem, możemy zaobserwować, że całka postaci
\(\displaystyle{ \int Q_n(x) e^x\mbox{d}x}\)
gdzie \(\displaystyle{ Q_n(x)}\) jest pewnym wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n}\), jest tej samej postaci \(\displaystyle{ P_n(x)e^x + C}\) dla pewnego innego wielomianu \(\displaystyle{ P_n(x)}\) tego samego stopnia. Zatem w naszym konkretnym przypadku jesteśmy w stanie określić postać całki jako:
\(\displaystyle{ \int\left(x^3 + 4x^2 - 5x + 7\right)e^x\mbox{d}x = \left(a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\right)e^x + C}\)
Jedyne co musimy zrobić, to wyznaczyć stałe \(\displaystyle{ a_i}\). Jak można to sprytnie zrobić? Wiemy z twierdzenia Newtona-Leibniza, że jeżeli zachodzi powyższa równość, to, po zróżniczkowaniu stronami, zachodzi także:
\(\displaystyle{ \left(x^3 + 4x^2 - 5x + 7\right)e^x = \left[\left(a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\right)e^x + C\right]' = \left[a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 + 3 a_3 x^2 + 2 a_2 x + a_1\right]e^x}\)
Po podzieleniu stronami przez \(\displaystyle{ e^x}\) otrzymujemy równość dwóch wielomianów:
\(\displaystyle{ x^3 + 4x^2 - 5x + 7 = a_3 x^3 + (a_2 + 3a_3) x^2 + (2a_2 + a_1) x + (a_1 + a_0)}\)
Dwa wielomiany są sobie równe, jeżeli mają te same współczynniki. Wystarczy więc rozwiązać płynący z tego układ liniowy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_3 = 1\\ a_2 + 3a_3 = 4\\ 2a_2 + a_1 = -5\\ a_1 + a_0 = 7\end{cases}}\)
Układ ten można łatwo rozwiązać, "od początku do końca", otrzymując współczynniki
\(\displaystyle{ a_3 = 1, \ a_2 = 1, \ a_1 = -7, \ a_0 = 14}\)
a więc wielomian \(\displaystyle{ P_3(x) = x^3 + x^2 - 7x + 14}\). Tym samym wynikiem metody przewidywań jest
\(\displaystyle{ \int \left(x^3 + 4x^2 - 5x + 7\right)e^x\mbox{d}x = (x^3 + x^2 - 7x + 14)e^x + C}\)
\(\displaystyle{ \int x^n e^x\mbox{d}x}\)
gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest dowolną liczbą naturalną (włącznie z zerem). Polecam przeliczyć sobie takie całki dla konkretnych przypadków (\(\displaystyle{ n=0,1,2}\)).
Zrobione? W każdym przypadku wynikiem powinna być funkcja postaci \(\displaystyle{ P_n(x)e^x + C}\), gdzie \(\displaystyle{ P_n(x)}\) jest wielomianem tego samego stopnia co \(\displaystyle{ n}\). Dla \(\displaystyle{ n=0}\) mieliśmy:
\(\displaystyle{ \int e^x\mbox{d}x = P_0(x)e^x + C, \quad P_0(x) = 1}\),
\(\displaystyle{ \int x e^x\mbox{d}x = P_1(x)e^x + C, \quad P_1(x) = x - 1}\),
\(\displaystyle{ \int x^2 e^x\mbox{d}x = P_2(x)e^x + C, \quad P_1(x) = x^2 - 2x + 2}\).
Ponieważ całka sumy jest sumą całek, a suma wielomianów jest wielomianem, możemy zaobserwować, że całka postaci
\(\displaystyle{ \int Q_n(x) e^x\mbox{d}x}\)
gdzie \(\displaystyle{ Q_n(x)}\) jest pewnym wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n}\), jest tej samej postaci \(\displaystyle{ P_n(x)e^x + C}\) dla pewnego innego wielomianu \(\displaystyle{ P_n(x)}\) tego samego stopnia. Zatem w naszym konkretnym przypadku jesteśmy w stanie określić postać całki jako:
\(\displaystyle{ \int\left(x^3 + 4x^2 - 5x + 7\right)e^x\mbox{d}x = \left(a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\right)e^x + C}\)
Jedyne co musimy zrobić, to wyznaczyć stałe \(\displaystyle{ a_i}\). Jak można to sprytnie zrobić? Wiemy z twierdzenia Newtona-Leibniza, że jeżeli zachodzi powyższa równość, to, po zróżniczkowaniu stronami, zachodzi także:
\(\displaystyle{ \left(x^3 + 4x^2 - 5x + 7\right)e^x = \left[\left(a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\right)e^x + C\right]' = \left[a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 + 3 a_3 x^2 + 2 a_2 x + a_1\right]e^x}\)
Po podzieleniu stronami przez \(\displaystyle{ e^x}\) otrzymujemy równość dwóch wielomianów:
\(\displaystyle{ x^3 + 4x^2 - 5x + 7 = a_3 x^3 + (a_2 + 3a_3) x^2 + (2a_2 + a_1) x + (a_1 + a_0)}\)
Dwa wielomiany są sobie równe, jeżeli mają te same współczynniki. Wystarczy więc rozwiązać płynący z tego układ liniowy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_3 = 1\\ a_2 + 3a_3 = 4\\ 2a_2 + a_1 = -5\\ a_1 + a_0 = 7\end{cases}}\)
Układ ten można łatwo rozwiązać, "od początku do końca", otrzymując współczynniki
\(\displaystyle{ a_3 = 1, \ a_2 = 1, \ a_1 = -7, \ a_0 = 14}\)
a więc wielomian \(\displaystyle{ P_3(x) = x^3 + x^2 - 7x + 14}\). Tym samym wynikiem metody przewidywań jest
\(\displaystyle{ \int \left(x^3 + 4x^2 - 5x + 7\right)e^x\mbox{d}x = (x^3 + x^2 - 7x + 14)e^x + C}\)